Comprehensive Study Guide: Trigonometric Ratios, Angle Reductions, and Polar Coordinate Conversion

بطاقات استذكار للمفاهيم والقوانين الخاصة بالنسب المثلثية للزوايا الشهيرة وقواعد الأرباع والتحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية.

النسب المثلثية للزاوية الشهيرة $\frac{\pi}{6}$

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = +\frac{1}{2}$ و $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = +\frac{\sqrt{3}}{2}$

النسب المثلثية للزاوية الشهيرة $\frac{\pi}{4}$

$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = +\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = +\frac{\sqrt{2}}{2}$

النسب المثلثية للزاوية الشهيرة $\frac{\pi}{3}$

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = +\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = +\frac{1}{2}$

شرط موقع الزاوية في الربع الثاني

تكون الزاوية في الربع الثاني عندما يكون بسط الزاوية أصغر من المقام بواحد (أي من الشكل $\frac{(n-1)\pi}{n}$).

شرط موقع الزاوية في الربع الثالث

تكون الزاوية في الربع الثالث عندما يكون بسط الزاوية أكبر من المقام بواحد (أي من الشكل $\frac{(n+1)\pi}{n}$).

شرط موقع الزاوية في الربع الرابع

تكون الزاوية في الربع الرابع عندما تكون الزاوية من الشكل $\frac{(2n-1)\pi}{n}$.

تبسيط الزوايا المختلفة عن الجدول

نضيف $2\pi$ للزاوية السالبة، ونضيف $-2\pi$ (أي نطرح $2\pi$) للزاوية الموجبة حتى نصل إلى زاوية شهيرة مكافئة.

مضاعفات $\pi$ الزوجية

كل عدد زوجي مضروب في $\pi$ يعامل معاملة $0$، حيث يكون $\cos(2k\pi) = 1$ و $\sin(2k\pi) = 0$.

مضاعفات $\pi$ الفردية

كل عدد فردي مضروب في $\pi$ يعامل معاملة $\pi$، حيث يكون $\cos(\pi) = -1$ و $\sin(\pi) = 0$.

خطوات معرفة الزاوية $\theta$ المعرفة بالنسب المثلثية

1. تحديد عدد الزاوية من جدول النسب المثلثية الشهيرة. 2. النظر إلى إشارات النسب لتحديد في أي ربع تقع الزاوية. 3. تحديد الزاوية $\theta$ بناءً على الربع.

قانون طول نصف القطر القطبي $r$

يُحسب نصف القطر القطبي من الإحداثيات الديكارتية $(x, y)$ باستخدام القانون: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$.

قوانين حساب الزاوية القطبية $\theta$

تُحدد الزاوية القطبية باستخدام القوانين: $\cos(\theta) = \frac{x}{r}$ و $\sin(\theta) = \frac{y}{r}$.

الإحداثيات القطبية للنقطة $A(\sqrt{3}, -1)$

$r = 2$، $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$، فتكون الزاوية $\theta = \frac{11\pi}{6}$ والإحداثيات القطبية هي $A\left(2, \frac{11\pi}{6}\right)$.

الإحداثيات القطبية للنقطة $B(-2, 2)$

$r = 2\sqrt{2}$، $\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$، $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$، فتكون الزاوية $\theta = \frac{3\pi}{4}$ والإحداثيات القطبية هي $B\left(2\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right)$.