Sommes, Produits, Binôme de Newton et Trigonométrie

Cartes de vocabulaire définissant les concepts fondamentaux sur les sommes, les produits, le binôme de Newton, les coefficients binomiaux et la trigonométrie.

Somme d'une famille sur un ensemble vide

Par convention, si $I = \emptyset$, alors $\sum_{k \in I} a_k = 0$.

Somme télescopique

Pour toute famille de nombres complexes $(a_k)_{p \leqslant k \leqslant q+1}$, $\sum_{k=p}^q (a_{k+1} - a_k) = a_{q+1} - a_p$.

Somme d'une suite géométrique

Pour tout $q \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^n q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ si $q \neq 1$, et $n + 1$ si $q = 1$.

Interversion des sommes sur un rectangle

Pour une famille $(a_{i,j})_{(i,j) \in \llbracket 1,n \rrbracket \times \llbracket 1,p \rrbracket}$, $\sum_{1 \leqslant i \leqslant n, 1 \leqslant j \leqslant p} a_{i,j} = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^p a_{i,j} \right) = \sum_{j=1}^p \left( \sum_{i=1}^n a_{i,j} \right)$.

Produit d'une famille sur un ensemble vide

Par convention, si $I = \emptyset$, alors $\prod_{k \in I} a_k = 1$.

Factorielle $n$

Pour $n \in \mathbb{N}$, l'entier $n!$ est défini par $n! = \prod_{k=1}^n k$, avec la convention $0! = 1$.

Produit télescopique

Pour une famille $(a_k)_{p \leqslant k \leqslant q+1}$ de complexes non nuls, $\prod_{k=p}^q \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{a_{q+1}}{a_p}$.

Identité $a^n - b^n$

Pour tous $a, b \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}^*$, $a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}$.

Coefficient binomial

Pour $k \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}$, le nombre $\binom{n}{k}$ vaut $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ si $0 \leqslant k \leqslant n$, et $0$ si $k < 0$ ou $n < k$.

Formule de Pascal

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $k \in \mathbb{Z}$, $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.

Formule du binôme de Newton

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $(a,b) \in \mathbb{C}^2$, $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$.

Congruence modulo $z$

Pour $x, y, z \in \mathbb{R}$, $x \equiv y \,[z]$ signifie qu'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = y + kz$.

Tangente d'un réel $x$

Pour $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$, $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Propriétés de la fonction tangente

La fonction $\tan$ est impaire, $\pi$-périodique, dérivable avec $\tan' = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}$, et strictement croissante sur $\left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[$.

Fonction arccosinus

Bijection réciproque de la restriction de $\cos$ à $[0, \pi]$, notée $\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Fonction arcsinus

Bijection réciproque de la restriction de $\sin$ à $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, notée $\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Fonction arctangente

Bijection réciproque de la restriction de $\tan$ à $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, notée $\arctan : \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.