Analisi Matematica B - Giovanni Eugenio Comi

Flashcard di terminologia e definizioni chiave per il corso di Analisi Matematica B, coprendo calcolo differenziale, integrale, analisi complessa e serie/trasformate di Fourier.

Spazio euclideo reale $R^n$

Uno spazio vettoriale su $R$ di dimensione $n$, rappresentabile come il prodotto cartesiano di $n$-copie di $R$: $R^n = R \times R \times \times \times R$.

Prodotto scalare ($x \times y$)

Quantità scalare data dalla somma dei prodotti delle componenti corrispondenti: x \times y := \text{x}_1\text{y}_1 + \text{x}_2\text{y}_2 + \times \times \times + \text{x}_n\text{y}_n = \text{\sum}_{j=1}^n \text{x}_j\text{y}_j.

Norma di un vettore ($\|x\|$)

La lunghezza di un vettore $x \times R^n$ definita come \|x\| := \text{\sqrt{x \times x}} = \text{\sqrt{\sum_{j=1}^n x^2_j}}.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Teorema che stabilisce che per ogni $x, y \times R^n$ vale |x \times y| \times \text{\|x\|} \text{\|y\|}, dove l'uguaglianza vale se i vettori sono linearmente dipendenti.

Distanza euclidea ($d(x, y)$)

Definita tra due punti (vettori) $x, y \times R^n$ come la norma della loro differenza: d(x, y) := \text{\|x - y\|}, che soddisfa la simmetria, la non degenerazione e la disuguaglianza triangolare.

Autovalore (\text{\lambda})

Sia $A \times R^{n \times n}$. Un numero \text{\lambda} \times R è un autovalore se esiste un vettore $x \times R^n$, $x \times 0$, tale che Ax = \text{\lambda}x.

Traccia ($Tr(A)$)

Funzione $\text{Tr} : R^{n \times n} \times R$ definita come la somma degli elementi sulla diagonale principale della matrice: Tr(A) = \text{\sum}_{i=1}^n \text{a}_{ii}.

Funzione continua in $x_0$

Una funzione $f : E \times R^n \times R$ è continua in $x_0 \times E$ se per ogni \text{\varepsilon} > 0 esiste \text{\delta} = \text{\delta}(x_0, \text{\varepsilon}) > 0 tale che per ogni $x \times E$ con \text{\|x - x}_0\text{\|} < \text{\delta} si ha |f(x) - f(x_0)| < \text{\varepsilon}.

Insieme aperto (in $R^n$)

Un insieme $A \times R^n$ tale che per ogni $x \times A$ esiste \text{\varepsilon} > 0 per cui la palla aperta B_\text{\varepsilon}(x) \times A.

Insieme compatto

Un insieme $K \times R^n$ che risulta essere sia chiuso che limitato.

Teorema di Weierstrass (più variabili)

Afferma che se $K \times R^n$ è un insieme compatto e $f \times C(K)$, allora esistono punti di minimo e massimo assoluti in $K$.

Derivata parziale rispetto a $x_j$

Il limite finito (se esiste) del rapporto incrementale lungo la direzione del vettore della base canonica $\text{e}_j$: \frac{\text{\partial} f}{\text{\partial} x_j}(a) := \text{\lim}_{h \times 0} \frac{f(a + h\text{e}_j) - f(a)}{h}.

Gradiente (\text{\nabla} f(a))

Il vettore riga che ha come elementi tutte le derivate parziali della funzione $f$ calcolate nel punto $a$: \text{\nabla} f(a) := \text{(}\frac{\text{\partial} f}{\text{\partial} x_1}(a), \times \times \times, \frac{\text{\partial} f}{\text{\partial} x_n}(a)\text{)}.

Matrice Jacobiana ($J_F(a)$)

Per una funzione vettoriale F : \text{\Omega} \times R^n \times R^m, è la matrice $m \times n$ le cui righe sono i gradienti delle componenti $F_j$.

Lemma di Schwarz

Teorema che afferma che se f \times C^2(\text{\Omega}), allora le derivate parziali seconde miste sono uguali: \frac{\text{\partial}^2 f}{\text{\partial} \text{x}_j \text{\partial} \text{x}_i}(x) = \frac{\text{\partial}^2 f}{\text{\partial} \text{x}_i \text{\partial} \text{x}_j}(x).

Matrice Hessiana ($H f(x)$)

La matrice $n \times n$ delle derivate parziali seconde di una funzione f \times C^2(\text{\Omega}), definita come H f(x) := \text{[}\frac{\text{\partial}^2 f}{\text{\partial} \text{x}_i \text{\partial} \text{x}_j}(x)\text{]}_{\text{i,j}=1,\times \times \times,n}.

Criterio di Sylvester

Metodo per determinare la definitura di una matrice simmetrica tramite il segno dei suoi autovalori: ad esempio, è definita positiva se e solo se tutti gli autovalori sono strettamente positivi.

Moltiplicatore di Lagrange (\text{\lambda})

Il fattore \text{\lambda} che compare nel sistema \text{\nabla} f(a) = \text{\lambda} \text{\nabla} g(a) per la ricerca di estremanti di $f$ vincolati all'insieme degli zeri di $g$.

Misura di Lebesgue ($L^n(E)$)

Generalizzazione del concetto di volume, definita come l'estremo inferiore della somma dei volumi di una famiglia di iperrettangoli che coprono l'insieme $E$.

Campo vettoriale esatto (conservativo)

Un campo F \times C(\text{\Omega}; R^n) tale per cui esiste un potenziale \text{\phi} \times C^1(\text{\Omega}) tale che F(x) = \text{\nabla} \text{\phi}(x).

Rotore (\text{\nabla} \times F)

Operatore differenziale per campi in $R^3$ definito formalmente come il determinante della matrice contenente gli operatori di derivata e le componenti del campo: \text{rot } F = \text{(\partial}_y F_3 - \text{\partial}_z F_2, \text{-\partial}_x F_3 + \text{\partial}_z F_1, \text{\partial}_x F_2 - \text{\partial}_y F_1\text{)}.

Divergenza (\text{\nabla} \times F)

Scalare dato dalla somma delle derivate parziali delle componenti di un campo rispetto alla variabile corrispondente: \text{\nabla} \times F(x) := \text{\sum}_{j=1}^n \frac{\text{\partial} F_j}{\text{\partial} x_j}(x).

Funzione Olomorfa

Una funzione di variabile complessa f : \text{\Omega} \times C \times C derivabile in senso complesso in ogni punto dell'aperto \text{\Omega}.

Equazioni di Cauchy-Riemann

Condizioni necessarie e sufficienti per l'olomorfia di $f=u+iv$: \frac{\text{\partial} u}{\text{\partial} x} = \frac{\text{\partial} v}{\text{\partial} y} e \frac{\text{\partial} v}{\text{\partial} x} = \text{-\frac{\partial} u}{\text{\partial} y}.

Residuo ($Res(m(z), z=z_0)$)

Il coefficiente $\text{a}_{-1}$ dello sviluppo di Laurent di una funzione meromorfa $m$ attorno al polo $\text{z}_0$.

Coefficiente di Fourier complesso (\text{\hat{f}}(n))

Definito per $f \times L^1([0, T))$ come \text{\hat{f}}(n) := \frac{1}{T} \text{\int}_0^T f(t) \text{e}^{-i \frac{2\text{\pi}}{T} nt} dt.

Identità di Parseval

Relazione negli spazi $L^2$ che esprime la conservazione della norma: \frac{1}{T} \text{\int}_0^T |f(t)|^2 dt = \text{\sum}_{n=-\text{\infty}}^{+\text{\infty}} |\text{\hat{f}}(n)|^2.

Trasformata di Fourier (\text{\hat{f}}(\text{\xi}))

Per $f \times L^1(R)$, è la funzione \text{\hat{f}}(\text{\xi}) := \text{\int}_{-\text{\infty}}^{+\text{\infty}} f(t) \text{e}^{-i\text{\xi} t} dt.

Delta di Dirac (\text{\delta}_a)

Distribuzione temperata definita dall'operatore di valutazione nel punto $a$: \text{\delta}_a(\text{\phi}) := \text{\phi}(a) per ogni funzione test \text{\phi} \times S(R).

Spazio di Schwartz ($S(R)$)

L'insieme delle funzioni C^\text{\infty}(R) tali per cui ogni derivata decada all'infinito più velocemente di ogni potenza inversa di $|t|$.