Aritmética y Teoría de Conjuntos - Práctica de Examen

Flashcards basadas en ejercicios de Teoría de Conjuntos, cardinalidad, lógica de cuantificadores y problemas de aplicación con diagramas de Venn extraídos de la guía de estudio.

¿Cuál es el resultado de resolver el sistema de conjuntos en el Problema 21, donde $148$ estudiantes de la UNI practican deportes y se busca cuántos practican los tres deportes?

El número de estudiantes que practican los $3$ deportes es $6$. Se obtiene mediante la ecuación de conjuntos: $148 = 91 + (17-x) + (18-x) + (19-x) + x + 15$, donde $x$ representa la intersección de los tres.

En el Problema 23, con un grupo de $60$ personas y tres idiomas (Aimara, Castellano, Quechua), ¿cuántas personas hablan solamente uno de estos tres idiomas?

La cantidad de personas que hablan solamente uno de los tres idiomas es $26$. Esto se calcula restando las intersecciones y los que no hablan ninguno del total de personas.

Según el Problema 32, si $n(A \text{ ∪ } B) = 11$ y $n(P(A)) + n(P(B)) = 192$, ¿cuál es el valor de $n(P(A \text{ ∩ } B))$?

El valor es $4$. Dado que $2^7 + 2^6 = 128 + 64 = 192$, se tiene que $n(A)=7$ y $n(B)=6$. Luego, $n(A \text{ ∩ } B) = n(A) + n(B) - n(A \text{ ∪ } B) = 7 + 6 - 11 = 2$. Finalmente, $n(P(A \text{ ∩ } B)) = 2^2 = 4$.

En el Problema 19, si se cumple que $A \text{ ⊂ } B$, $B \text{ ⊂ } C$ y la condición 'Si $X$ no es elemento de $A$, entonces $X$ no es elemento de $C$', ¿qué relación existe entre $A$ y $C$?

Se concluye que $A = C$. La condición dada es equivalente a decir que si $x \text{ ∈ } C$, entonces $x \text{ ∈ } A$, lo que sumado a las contenciones iniciales implica la igualdad de los conjuntos.

Para el conjunto $A = \text{ { } 1, 3, 5 \text{ } }$ y $B = \text{ { } 2, 4 \text{ } }$ del Problema 42, ¿es verdad que $∀ x \text{ ∈ } A, ∀ y \text{ ∈ } B, xy < 21$?

Es Verdadero ($V$). El producto máximo posible es $5 \text{ × } 4 = 20$, el cual es estrictamente menor a $21$.

¿Cuáles son los elementos del conjunto $B \text{ ∖ } A$ en el Problema 29, donde $A$ son los primos $≤ 15$ y $B$ son los mùltiplos de $3 ≤ 15$?

Los elementos de $B \text{ ∖ } A$ son $\text{ { } 6, 9, 12, 15 \text{ } }$. El elemento $3$ se excluye porque pertenece a ambos conjuntos ($3$ es primo y mùltiplo de $3$).

En el Problema 25, con $100$ personas, $45$ varones (de los cuales $8$ practican fùtbol) y $15$ mujeres que NO practican fùtbol, ¿cuántas mujeres sí practican fùtbol?

El número de mujeres que practican fùtbol es $40$. Hay $55$ mujeres en total ($100 - 45$). Si $15$ no practican fùtbol, entonces $55 - 15 = 40$ sí lo practican.

Simplifique la operación de conjuntos del Problema 31: $((A \text{ ∩ } B)^c \text{ ∪ } C^c) \text{ ∩ } (C \text{ ∩ } B^c)^c$.

La simplificación resulta en el conjunto vacío ($∅$) o una de las opciones presentadas tras aplicar las leyes de De Morgan y distribución.

En el Problema 34, si las cardinalidades de los conjuntos potencia suman $n(P(B)) + n(P(C)) = 576$, ¿cuáles son los valores de $n(B)$ y $n(C)$?

$n(B) = 9$ y $n(C) = 6$ (o viceversa), dado que $2^9 + 2^6 = 512 + 64 = 576$.

Segùn el Problema 35, para el conjunto $M = \text{ { } 1, \text{ { } 3 \text{ } }, \text{ { } 1, 3 \text{ } }, \text{ { } 1, 5 \text{ } } \text{ } }$, ¿es la proposición $\text{ { } \text{ { } 5 \text{ } } \text{ } } ∈ P(M)$ verdadera o falsa?

Es Falsa. Para que $\text{ { } \text{ { } 5 \text{ } } \text{ } }$ sea elemento del conjunto potencia $P(M)$, $\text{ { } 5 \text{ } }$ debería ser un elemento de $M$, lo cual no ocurre (solo existen $\text{ { } 3 \text{ } }$, $\text{ { } 1, 3 \text{ } }$ y $\text{ { } 1, 5 \text{ } }$).