Derviadas Implícitas y Logarítmicas, L'Hopital's, Razones de Cambio

Paso 1 en el proceso de Derivación Implícita

Se deriva cada uno de los términos de la función

Paso 2 en el proceso de Derivación Implícita

Términos que sólo tengan x se derivan aplicando las reglas de derivación normales

Paso 3 en el proceso de Derivación Implícita

Términos que tengan y se derivan aplicando las reglas de derivación normales pero se multiplican al final por dy/dx

Paso 4 en el proceso de Derivación Implícita

Se despeja dy/dx y se obtiene la respuesta

Paso 1 en el proceso de Derivación Logarítmica

Suponemos que y(x) = y = f(x)^g(x)

Paso 2 en el proceso de Derivación Logarítmica

Aplicamos logaritmo natural en ambos lados para bajar la función a la que estamos elevando a multiplicar, tal que el problema quede:

ln y = g(x) * ln f(x)

Paso 3 en el proceso de Derivación Logarítmica

Tomamos la derivada de ambos lados y simplificamos

1/y * y’ = g’(x)*ln f(x) + (ln f(x))’ * g(x)

Paso 4 en el proceso de Derivación Logarítmica

Despejamos la y, nuestra función, multiplicando ambos lados por y. Rescribimos cómo la función original

y’ = (f(x)^g(x)) * (g’(x) * ln f(x) + (ln f(x))’ * g(x))

Razón de Cambio Promedio de y con rescpecto a x en el intervalo [x₁, x₂]

( f(x₂) - f(x₁) ) / x₂ - x₁

Paso 1 en problemas de Razones de Cambio

Si es posible, realizar un diagrama t definir las variables que intervienen en el problema

Paso 2 en problemas de Razones de Cambio

Expresar la información dada y la cantidad pedida en términos de derivadas

Paso 3 en problemas de Razones de Cambio

Escribir una ecuación que relacione las variables

Paso 4 en problemas de Razones de Cambio

Derivar implícitamente ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo t

Paso 5 en problemas de Razones de Cambio

Sustituir la información dada en la ecuación resultante y despejar la razón de cambio requerida

Condiciones para poder resolver un límite utilizando la Regla de L'Hôpital

• f(x) y g(x) son derivables

• g’(x) ≠ 0 en un intervalo que contiene a(menos a posiblemente)

• el límite cuando x tiene a a de f(x) sobre g(x) presenta una de las formas indeterminadas que son:

  • 0/0

  • ±∞/ ±∞

Una vez se cumplen las condiciones de la Regla de L'Hôpital

Es nada más tomar por separado las derivadas de f(x) y g(x) y evaluar a en las funciones resultantes

Formas indeterminadas alternas

• 0 * ∞

• ∞ * ∞

• 0⁰

• ∞⁰

• 1^∞

Si tenemos que el límite cuando x tiene a a de f(x) * g(x) presenta la forma indeterminada (0)(∞)

Podemos transformar el límite para que nos de las formas indeterminadas de L'Hôpital tradicionales mediante el siguiente proceso:

f(x) * g(x) = f(x) / 1 / g(x)

Si tenemos que el límite cuando x tiene a a de [f(x)]^g(x) presenta la forma indeterminada 0⁰, ∞⁰, 1^∞

Podemos transformar el límite mediante la utilización de propiedades de logaritmos

Si tenemos que el límite cuando x tiene a a de f(x) - g(x) presenta la forma indeterminada ∞-∞

Podemos transformar el límite utilizando simplificación algebraica