Primitives, Équations Différentielles et Fonctions Trigonométriques

Flashcards sur les primitives, les solutions d'équations différentielles, l'intégration, les propriétés des fonctions trigonométriques, la dérivation et la continuité.

Primitive de $x^n$ pour $n \in \mathbb{Z} \setminus \{-1; 0\}$

$$F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Primitive de $\frac{1}{x}$ pour $x > 0$

$$F(x) = \ln(x)$$

Primitive de $u'u^n$

$F = \frac{1}{n+1}u^{n+1}$ avec $n \in \mathbb{Z} \setminus \{-1; 0\}$

Primitive de $\frac{u'}{u}$ pour $u > 0$

$$F = \ln(u)$$

Primitive de $u'e^u$

$$F = e^u$$

Primitive de $u' \cos(u)$ et $u' \sin(u)$

Les primitives sont respectivement $\sin(u)$ et $-\cos(u)$.

Équations différentielles du type $y' = ay$

Les solutions sont les fonctions de la forme $x \mapsto C e^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$.

Équations différentielles du type $y' = ay + b$

Les solutions sont les fonctions de la forme $x \mapsto C e^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C \in \mathbb{R}$.

Équations différentielles du type $y' = ay + f$

Les solutions sont de la forme $x \mapsto C e^{ax} + p(x)$, où $C \in \mathbb{R}$ et $p(x)$ est une solution particulière de l'équation.

Intégration par parties

$$\int u'(x)v(x) \, dx = [u(x)v(x)] - \int u(x)v'(x) \, dx$$

Valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a; b]$ est donnée par $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$.

Périodicité des fonctions trigonométriques

Les fonctions $\cos(x)$ et $\sin(x)$ sont périodiques de période $2\pi$, c'est-à-dire $f(x + 2k\pi) = f(x)$ pour $k \in \mathbb{Z}$.

Fonction paire

Fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, vérifiant $f(-x) = f(x)$. Le cosinus est une fonction paire.

Fonction impaire

Fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère, vérifiant $f(-x) = -f(x)$. Le sinus est une fonction impaire.

Dérivée de $\cos(ax+b)$ et $\sin(ax+b)$

$(\cos(ax+b))' = -a \sin(ax+b)$ et $(\sin(ax+b))' = a \cos(ax+b)$

Identité trigonométrique fondamentale

$$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$$

Équation de la tangente

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si une fonction $f$ est continue sur $[a; b]$ et strictement monotone, alors pour tout réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur $[a; b]$.