meccanica - lavoro ed energia

definizione di lavoro

W_AgammaB = int_AgammaB (F dx)

cos’è la potenza? Cosa dice la legge della potenza? con dimostrazione

P = F*v = dK/dt

DIMOSTRAZIONE
dK/dt = d/dt m v*v/2 = mv dv/dt = F*V = P

dammi la definizione di energia cinetica

K = ½ m v² = p² / 2m

E’ l’energia correlata allo spostamento

enuncia il teorema delle forze vive e dimostralo

il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro compiuto per spostare un corpo dalla posizione A alla posizione B è uguale alla differenza di energia cinetica nei punti B e A. W_AgammaB = K(B) - K(A), che è come dire int di AgammaB di F dx = ½ m v² (B) - ½ m v² (A).

DIMOSTRAZIONE:

parto dal secondo principio di Newton, che ci dice che F = ma = m dv/dt.

Assumo x(t₀) = A, x(t₁) = B

W_AgammaB = int^t1_t0 ( F dx/dt dt) = int^t1_t0 ( m dv/dt v(t) dt)

So che dv²/dt = d(v*v)/dt = v dv/dt + dv/dt v = 2 dv/dt v

per cui int^t1_t0 ( m/2 dv²/dt dt) = mv²/2 (x(t1) - mv² /2 (x(t0)) = mv²/2 (B) - mv²/2 (A)

spiega cos’è una forza dissipativa e fanne un esempio

Una forza dissipativa è una forza che compie SEMPRE lavoro negativo (e quindi dissipa energia cinetica).

ESEMPIO: forza d’attrito dinamico

W_AgammaB = int_AgammaB (F_d * dx) = int (F_d ds cosθ) = int (mu_d N ds cosθ) = -mu_dN int_AgammaB (ds) = = -mu_dN | AgammaB |

Per cui, per il teorema delle forze vive ho che la velocità in B è sempre inferiore alla velocità in A e il lavoro compiuto è sempre negativo.

dimmi la definizione di forza posizionale e degli esempi

Una forza F (x, dx/dt, t) si dice posizionale se dipende solo da x.

ESEMPI: forza peso, forza elastica

Quando una forza posizionale si dice anche conservativa?

Quando il lavoro compiuto da questa forza non dipende dal cammino scelto, ma solo dalla posizione degli estremi.

Nabla = ?

Nabla = (d/dx, d/dy, d/dz) tutte derivate parziali

enuncia il teorema dell’energia potenziale e dimostralo (=>)

Se una forza è conservativa, allora esiste una funzione scalare U(x) detta ENERGIA POTENZIALE definita a meno di una costante tale che

1. W_AgammaB = -(U(B) - U(A))

2. F(x) = -nabla U(x)

DIMOSTRAZIONE 1

Fisso un punto P₀ arbitrario e siano x le coordinate del punto P. Sia P₀gammaP

definisco U(x) = -int_P0gammaP(F dx) = -int_P0gammaA(F dx) = U(A)

Se F è conservativa → U(x) non dipende dal tragitto scelto tra P₀ e P. Calcolo:
-(U(B) - U(A)) = int_P0gammaB(F dx) - int_P0gammaA(F dx) = int_P0gammaB(F dx) + int_AgammaP0(F dx) = int_AgammaB(F dx)

Definisco poi P₁ e denoto U₁(x) = - int_P1gammaP(F dx) (*)

Scelgo P₁gammaP = P₁gammaP₀ U P₀gammaP, quindi

(*) = - int_P1gammaP0(F dx) - int_P0gammaP(F dx) = C + U(x)

DIMOSTRAZIONE 2

prendo in considerazione F_x = dU/dx

dU(x)/dt = lim U(x+Δx, y, z) - U(x, y, z) / Δx per Δx→0 (%)

Dalla dim. 1 abbiamo dimostrato che U(x+Δx, y, z) - U(x, y, z) = - int^{(x+Δx, y, z)}_{(x, y, z)} (F dx) = int^(x+Δx)_x (F_x (x’, y, z)) = (teo. valore intermedio) = -F_x (x(ξ), y, z) Δx

dove x’ = x(ξ) compreso tra x e x+Δx

per cui (%) = lim - F_x (x(ξ), y, z) Δx / Δx per Δx →0 = - F_x (x, y, z).

enuncia il teorema dell’energia potenziale e dimostralo (<=)

Se esiste una funzione scalare U(x) tale che F(x) = -nabla U(x), allora F è conservativa

DIMOSTRAZIONE

pongo x(t₀) = A, x(t₁) = B

W_AgammaB = int_AgammaB (F dx) = int_AgammaB ( - nabla U(x) dx) =

-int_AgammaB (dU/dx dx + dU/dy dy + dU/dz dz) = -int_t0^t1 ( dU/dx dx/dt + dU/dy dy/dt + dU/dz dz/dt) dt = -int_t0^t1 (dU/dt (x(t)) dt) =

-(U(x(t₁)) - U(x(t₀))) = -(U(B) - U(B))

Quindi il lavoro è indipendente dal percorso → F è conservativa

A cosa equivale l’energia meccanica?

E_M = K + U

enuncia il teorema di conservazione dell’energia meccanica e dimostralo in due modi

Se un punto materiale è soggetto a forze conservative, la sua energia meccanica sarà costante nel tempo, cioè verrà conservata.

DIMOSTRAZIONE 1

W_AgammaB = (teo. forze vive) = K(B) - K(A) = (F conservativa) = - (U(B) - U(A))

quindi

W_AgammaB = K(B) + U(B) = K(A) + U(A)

DIMOSTRAZIONE 2

utilizzo la legge della potenza:

dK/dt = F v = (F conservativa) = -nabla U(x) dx/dt = - [ dU/dx dx/dt + dU/dy dy/dt + dU/dz dz/dt ] =

= - d/dt (U(x(t))) = d(K + U)/dt = 0

qual è la quantità che si conserva come conseguenza dell’omogeneità del tempo per il teorema di Noether?

l’energia

cosa succede quando si considera la conservazione dell’energia meccanica per i moti unidimensionali?

La forza conservativa dipende da una sola coordinata e la conservazione dell’E_M uguale alla equazione di Newton F = ma

Abbiamo già dimostrato che F = ma = dE_M/dt = 0

Dimostriamo il viceversa, ovvero che se F(x) = - dU(x) / dx e quindi se

E_M = ½ m v² (t) + U(x) = costante

allora vale F = ma

DIMOSTRAZIONE

derivando E_M rispetto al tempo

0 = dE_M/dt = m dv/dt v + dU/dx dx/dt = (ma + dU/dx)v = 0

per cui ma = - dU/dx = F

elenca i vari punti di equilibrio possibili nei diagrammi energia

• punto di equilibrio STABILE:

  se x₀ è un minimo. Infatti, espandendo U(x) in serie di Taylor fino al 2° grado attorno a x₀ , avremmo:
  U(x) = U(x₀) + dU/dx (x₀)(x-x₀) + ½ d²U/dx² (x₀)(x-x₀)

  dove U(x₀) è costante e il secondo termine = 0

  per cui F = - dU(x)/dx = - d²U(x₀)/dx² (x-x₀) (*)

  cioè: forza NEGATIVA se x-x₀ è positivo e viceversa, per cui per piccoli spostamenti da x₀ la forza tende a riportare il punto verso x₀

  (*) è l’equazione dell’oscillatore armonico con pulsazione w = sqrt(1/m d²U(x₀)/dx²)

• punto di equilibrio INDIFFERENTE:

  se in un intorno di x₀ U(x) è costante (dU(x₀)/dx = 0)

  Se il punto viene spostato da x₀ sarà comunque in equilibrio, perché F = 0

• punto di equilibrio INSTABILE:

  se x₀ è un massimo. Infatti per piccoli spostamenti la forza è diretta in verso opposto a x₀, quindi il punto tenderebbe ad allontanarsi da x₀

Spiega la retta costante nei diagrammi energia

Questa retta costante rappresenta l’energia meccanica.

Dato che E_M = K + U, e K >= 0 → E_M >= U

Per cui i luoghi del grafico in cui l’energia potenziale è maggiore dell’energia meccanica non sono fisicamente possibili, e quindi sono da scartare.

Negli estremi delle regioni in cui E_M >= U, E_M = U per cui K = 0

Ma, non essendo punti di equilibrio, il corpo risente di una forza nel verso opposto da quello da cui è giunto.

Inoltre, se ci sono più regioni sconnesse con E_M >= U, il punto rimane nella regione iniziale: non può “fare salti” da una regione all’altra

Se la regione con E_M >= U ha un solo estremo (l’altro è all’infinito) l’unico moto possibile è quello che arriva dall’infinito, raggiunge l’estremo, inverte il suo verso e poi ritorna all’infinito

Infine, se E_M > U per tutto il grafico, senza quindi punti d’incontro, il moto del corpo va da infinito a infinito in un verso o nell’altro.

cos’è una forza centrale?

è una forza diretta lungo la congiungente ad un punto fissato, detto centro, il cui modulo dipende solo dal vettore r che va dal punto di applicazione al centro

cos’è una forza centrale a simmetria sfrica e qual è la differenza con una forza semplicemente centrale?

è una forza il cui modulo dipende da r(vett) solo tramite il modulo di r.

La differenza sta nel fatto che la forza semplicemente centrale può dipendere anche da altre variabili quali il tempo o altri parametri.

Enuncia e dimostra il teorema che dice che le forze centrali sono conservative se e solo se…

sono a simmetria sferica.

DIMOSTRAZIONE simmetria sferica => conservative

Calcoliamo il lavoro infinitesimo fatto da F con uno spostamento dx:

dW = F(r ) u_r * dx = F(r ) ds cosθ = F(r ) dr

W_AgammaB = int_AgammaB F dx = int_AgammaB F(r ) dr che riscrivo in maniera furba:

int_rA^rB d/dr [ int₀^r F(r’) dr’] dr = int^rB F(r’) dr’ - int^rA F(r’) dr’

-int^{r = |x|} F(r’) dr’ = U(x) è la differenza di energia potenziale in due punti → funzione scalare che mi dà esattamente il lavoro lungo il cammino per andare da un punto all’altro → F è conservativa

DIMOSTRAZIONE centrale conservativa => simmetria sferica

Consideriamo un cammino composto da due archi centrati in C infinitesimamente vicini. Dato che F è sempre diretta verso C, ortogonalmente agli archi, esis non danno contributo al lavoro

{ W¹_AgammaB = F (r, θ_B)dr

{W²_AgammaB = f (r, θ_A) dr

Se F è conservativa, W¹_AgammaB = W²_AgammaB →

→ F(r,θ_B) dr = F(r,θ_A)dr

Cioè F non dipende da θ, ma solo da r

elenca le coseguenze di avere una forza centrale F e un momento angolare L_C rispetto al centro

dL_C/dt = r x F = 0 perché F // r → L_C è costante

1. la direzione di L_C è costante, allora r e v giacicono sullo stesso piano → la traiettoria di P è PIANA

2. poichè il verso di L_C è costante il moto avviene sempre lungo lo stesso verso (se cambiasse da v a -v il verso di L_C cambierebbe)

3. definisco VELOCITA’ AEREOLARE l’area A spazzata dal raggio vettore del punto materiale soggetto a F nell’unità di tempo:

   dA/dt = costante

   infatti dA = ½ r v dt sinθ (area rettangolo) = ½ |r x v| dt

   per cui dA/dt = ½ |r x v| = ½ 1/m |L_C| = costante.