Коллоквиум по алгебре

studied byStudied by 29 people
5.0(4)
get a hint
hint

Дайте определение прямого произведения групп

1 / 122

Tags and Description

Algebra

2 курс 4 модуль

123 Terms

1

Дайте определение прямого произведения групп

knowt flashcard image
New cards
2

Если G - прямое произведение групп. G - группа?

Да

<p>Да</p>
New cards
3

Если G - прямое произведение групп. Когда G - абелева?

тогда и только тогда, когда G1,…,Gi - абелевы

<p>тогда и только тогда, когда G1,…,Gi - абелевы</p>
New cards
4

G - прямое произведение групп. Чему равен порядок элемента g из этой группы?

Порядок g равен НОК порядков элементов g1,…,gi

<p>Порядок g равен НОК порядков элементов g1,…,gi</p>
New cards
5

G - прямое произведение групп. Чему равна экспонента группы G?

НОК(expG1,…,expGi)

<p>НОК(expG1,…,expGi)</p>
New cards
6

G1,…,Gt - конечные циклические группы порядков, соответственно, m1, …, mt и G - прямое произведение этих групп. Что можно сказать о группе G?

Следующие утверждения эквивалентны:
1) G - циклическая группа
2) m1,…,mt попарно взаимно просты

<p>Следующие утверждения эквивалентны:<br>1) G - циклическая группа<br>2) m1,…,mt попарно взаимно просты</p>
New cards
7

Дайте определение прямого произведения подгрупп

knowt flashcard image
New cards
8

Пусть группа H раскладывается в прямое произведение подгрупп H1…Ht. Чему равен порядок элемента h из группы H?

НОК(ord h1,…, ord ht)

<p>НОК(ord h1,…, ord ht)</p>
New cards
9

Пусть группа H раскладывается в прямое произведение подгрупп H1…Ht. Чему равна экспонента группы H?

НОК(exp H1, … exp Ht)

<p>НОК(exp H1, … exp Ht)</p>
New cards
10

Пусть группа H раскладывается в прямое произведение подгрупп H1…Ht. Чему равен порядок группы H?

|H|=|H1|*…*|Ht|

<p>|H|=|H1|*…*|Ht|</p>
New cards
11

Пусть группа H раскладывается в прямое произведение подгрупп H1…Ht. Чему изоморфна группа H?

H изоморфна прямому произведению групп H1…Ht

<p>H изоморфна прямому произведению групп H1…Ht</p>
New cards
12

Пусть H1,,HtH_1,…,H_t - подгруппы группы H. При каком условии H - прямое произведение этих подгрупп?

Если H1,,HtH_1,…,H_t поэлементно перестановочны, т.е. hihj=hjhi,hiHi,hjHj,ijh_i h_j = h_j h_i, \forall h_i \in H_i, \forall h_j \in H_j, \forall i≠ j

<p>Если $$H_1,…,H_t$$ поэлементно перестановочны, т.е. $$h_i h_j = h_j h_i, \forall h_i \in H_i, \forall h_j \in H_j, \forall i≠ j$$ </p>
New cards
13

Пусть HH раскладывается в прямое произведение подгрупп H1,,HtH_1,…,H_t

Чему равна единица в группе H?

если e=h1ht,hiHie=h_1 … h_t, h_i \in H_i, то h1==ht=eh_1=…=h_t=e

<p>если $$e=h_1 … h_t, h_i \in H_i$$, то $$h_1=…=h_t=e$$  </p>
New cards
14

Пусть HH раскладывается в прямое произведение подгрупп H1,,HtH_1,…,H_t

Чему равно пересечение HiH_i и H1Hi1Hi+1HtH_1 \cdot … \cdot H_{i-1} \cdot H_{i+1} \cdot … \cdot H_t?

e{e}

<p>$${e}$$</p>
New cards
15

Дайте определение разложимой группы

knowt flashcard image
New cards
16

Дайте определение неразложимой группы

Группа G называется простой

Если \forall H < G, \forall K < G:G=HK - прямое произведение \Rightarrow H,KH,K - несобственные подгруппы GG

<p>Группа G называется простой</p><p>Если $$\forall H &lt; G, \forall K &lt; G:G=HK$$ - прямое произведение $$\Rightarrow$$ $$H,K$$ - несобственные подгруппы $$G$$</p>
New cards
17

Дайте определение примарной группы.

knowt flashcard image
New cards
18

Когда циклическая группа G разложима?

Когда она конечна и непримарна

<p>Когда она конечна и непримарна</p>
New cards
19

Когда циклическая группа G неразложима?

Тогда и только тогда, когда она бесконечна или примарна

<p>Тогда и только тогда, когда она бесконечна или примарна</p>
New cards
20

Во что раскладывается конечная, непримарная, циклическая группа G?

Раскладывается однозначно, с точностью до перестановки слагаемых, в прямую сумма примарных циклических подгрупп.

<p>Раскладывается однозначно, с точностью до перестановки слагаемых, в прямую сумма примарных циклических подгрупп.</p>
New cards
21

G раскладывается в прямое произведение подгрупп H и K. Что можно сказать про подгруппы H и K?

H и K нормальны в G

New cards
22

Дайте определение простой группы

Группа G называется простой
Если \forall H < G, \forall K < G:G=HK - прямое произведение \Rightarrow H,KH,K - несобственные подгруппы GG

New cards
23

Лемма Коши

Если G - абелева группа порядка m и p - простой делитель m, то в G существует подгруппа порядка p.

New cards
24

Теорема Лагранжа

Порядок подгруппы H конечной группы G делит порядок G и

G=G:HH|G|=|G:H|\cdot|H|

New cards
25

Дайте определение силовской p-подгруппы

knowt flashcard image
New cards
26

Первая теорема Силова

knowt flashcard image
New cards
27

Вторая теорема Силова

knowt flashcard image
New cards
28

Третья теорема Силова

knowt flashcard image
New cards
29

Во что раскладывается конечная непримарная абелева группа G?

knowt flashcard image
New cards
30

Критерий простоты конечной абелевой группы

Конечная абелева группа простая     \iff она примарна

<p>Конечная абелева группа простая $$\iff$$ она примарна</p>
New cards
31

Дайте определения: тип разложения, каноническое разложение

Любая конечная абелева группа либо сама является циклической примарной, либо раскладывается в прямое произведение примарных циклических подгрупп: G= < g_1 > + … + < g_t > , ord g_i = p_{i}^{k_i}, p_1,…,p_t - простые числа

Если в этом разложении слагаемые упорядочены так, что
(pipi+1) and ((pi=pi+1)(kiki+1))(p_{i} \geq p_{i+1}) \ and \ ((p_i = p_{i+1}) \Rightarrow (k_i \geq k_{i+1})), то это каноническое разложение конечной абелевой группы GG, а вектор (p1k1,,ptkt)(p_{1}^{k_1},…,p_{t}^{k_t}) называется типом этого разложения.

New cards
32

Дайте определение:
тип абелевой группы

Типом группы называется тип канонического разложения этой группы

New cards
33

Дайте определение

Векторное пространство

knowt flashcard image
New cards
34

Дайте определение

Линейной выражение вектора из векторного пространства

knowt flashcard image
New cards
35

Дайте определение

Линейной выражение системы векторов из векторного пространства через другую систему векторов этого пространства

knowt flashcard image
New cards
36

Дайте определение

Линейно зависимая система векторов

knowt flashcard image
New cards
37

Критерий линейной зависимости

knowt flashcard image
New cards
38

Когда система, состоящая из одного вектора линейно зависима?

тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой

<p>тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой</p>
New cards
39

Когда система из двух векторов линейно зависима?

knowt flashcard image
New cards
40

Что можно сказать про систему векторов, если какая-то ее подсистема линейно зависима?

Она тоже линейно зависима

<p>Она тоже линейно зависима</p>
New cards
41

Что можно сказать про подсистемы линейно независимой системы векторов?

Любая подсистема линейно независима

<p>Любая подсистема линейно независима</p>
New cards
42

Когда система векторов линейно зависима, если она состоит из >1 вектора и первый вектор ненулевой?

knowt flashcard image
New cards
43

Если добавить в линейно независимую систему векторов еще один вектор, когда новая система будет линейно независима?

knowt flashcard image
New cards
44

Дайте определение

Линейно зависимая бесконечная система векторов

knowt flashcard image
New cards
45

Дайте определение

Базис системы векторов, базис векторного пространства

knowt flashcard image
New cards
46

Какая система векторов имеет базис?

Любая

<p>Любая</p>
New cards
47

Сколько есть способов линейного выражения вектора в векторном пространстве?

Если выражается, то одним способом

<p>Если выражается, то одним способом</p>
New cards
48

Дайте определение

Линейное отображение

knowt flashcard image
New cards
49

Дайте определение

Матрица смены базиса

knowt flashcard image
New cards
50

Дайте определение

Матрица линейного преобразования

knowt flashcard image
New cards
51

Дайте определение

Собственный вектор преобразования

knowt flashcard image
New cards
52

Дайте определение

Собственное значение линейного преобразования

knowt flashcard image
New cards
53

Дайте определение

Кольцо

knowt flashcard image
New cards
54

Дайте определение

Делитель нуля

knowt flashcard image
New cards
55

Дайте определение

Область целостности

knowt flashcard image
New cards
56

Дайте определение

Поле

knowt flashcard image
New cards
57

Дайте определение

Тело

Тело - кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обратим

New cards
58

Есть ли делители нуля в поле?

нет

<p>нет</p>
New cards
59

Если в кольце R есть элемент a0a ≠ 0, не являющийся делителем нуля, что тогда можно сказать о кольце R?

knowt flashcard image
New cards
60

Когда кольцо R является полем?

Тогда и только тогда, когда в R нет делителей нуля

<p>Тогда и только тогда, когда в R нет делителей нуля</p>
New cards
61

Дайте определение

Характеристика кольца

knowt flashcard image
New cards
62

Чему равна характеристика кольца с единицей?

knowt flashcard image
New cards
63

Дайте определение

Идеал кольца

knowt flashcard image
New cards
64

Если II - идеал, а LL - подкольцо кольца RR,
что можно сказать про I+LI+L?

это подольцо кольца R

<p>это подольцо кольца R</p>
New cards
65

Если II - идеал, а LL - подкольцо кольца RR,
что можно сказать про ILI \cap L?

это идеал кольца L

<p>это идеал кольца L</p>
New cards
66

Если I,JI, J - идеалы кольца RR,
что можно сказать про I+LI + L?

это идеал кольца R

<p>это идеал кольца R</p>
New cards
67

Дайте определение

Главный идеал

knowt flashcard image
New cards
68

Дайте определение

Кольцо главных идеалов

Кольцо - КГИ, если любой его идеал главный

New cards
69

Приведите пример КГИ

knowt flashcard image
New cards
70

Является ли Z\mathbb{Z} КГИ?

Да

<p>Да</p>
New cards
71

Является ли произвольное поле P КГИ?

Да

<p>Да</p>
New cards
72

Является ли кольцо многочленов КГИ?

Да

<p>Да</p>
New cards
73

Дайте определение

Простое кольцо

knowt flashcard image
New cards
74

Когда коммутативное кольцо R0R≠0 является простым?

knowt flashcard image
New cards
75

Когда коммутативное кольцо R0R≠0 является полем?

knowt flashcard image
New cards
76

Когда коммутативное кольцо R с единицей является полем?

knowt flashcard image
New cards
77

Дайте определение
Фактор-кольцо

Фактор-кольцо - фактор-группа по идеалу кольца

New cards
78

R - кольцо с единицей, I - идеал R

Есть ли в фактор-кольце R/I нейтральный элемент? Если да, то как он выглядит?

knowt flashcard image
New cards
79

R - коммутативное кольцо.

Фактор-кольцо R\I коммутативно?

Да

New cards
80

Какие идеалы есть у поля P?

Только I=0 и I=P

New cards
81

Дайте определение

нильпотентный элемент

knowt flashcard image
New cards
82

Дайте определение

Иденпотентный элемент

<p></p>
New cards
83

Что можно сказать про характеристику кольца с единицей и без делителей нуля.

knowt flashcard image
New cards
84

Что можно сказать про характеристику поля?

Характеристикой конечного поля является простое число.

New cards
85

Дайте определение

Область целостности (целое кольцо)

knowt flashcard image
New cards
86

Дайте определение

Евклидово кольцо

knowt flashcard image
New cards
87

Приведите пример Евклидового кольца и нормы этого кольца.

Например, Z\mathbb{Z} - Евклидово. δ(a)=a\delta (a) = |a|

New cards
88

Назовите свойства нормы.

knowt flashcard image
New cards
89

RR - Евклидово кольцо. Когда δ(ab)=δ(b)\delta (ab) = \delta (b)?

a,bR\{0},δ(ab)=δ(b)    aRa, b \in R \backslash \{0\}, \quad \delta (ab) = \delta (b) \iff a \in R^*

New cards
90

Чему ровна норма единицы евклидового кольца?

Норме любого обратимого элемента.

<p>Норме любого обратимого элемента.</p>
New cards
91

Чему равна норма обратимого элемента в евклидовом кольце?

Норме единицы

<p>Норме единицы</p>
New cards
92

Дайте определение

Ассоциированные элементы

knowt flashcard image
New cards
93

Если в Евклидовом кольце a,bR\{0}a, b \in R \backslash \{0\} и ab,baa|_b, b|_a, то элементы a,ba,b … ?

Ассоциированные

<p>Ассоциированные</p>
New cards
94

Дайте определение

НОД элементов в Евклидовом кольце

knowt flashcard image
New cards
95

a,bRa,b \in R - Евклидово.
Если d = НОД(a, b) и c = НОД(a, b), то элементы d и c….?

Ассоциированные

<p>Ассоциированные</p>
New cards
96

Приведите пример ассоциированных элементов

НОД(5,2)=1. В то же время НОД(5,2)=-1. Значит 1 и −1 ассоциированы

New cards
97

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

knowt flashcard image
New cards
98

Дайте определение

Взаимно простые элементы

Элементы в кольце R называются взаимно простыми, если их НОД = 1

New cards
99

Расширенный алгоритм Евклида

knowt flashcard image
New cards
100

Дайте определение

Неразложимые элементы

knowt flashcard image
New cards

Explore top notes

note Note
studied byStudied by 7 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 43 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 14 people
Updated ... ago
4.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 139 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 26 people
Updated ... ago
4.0 Stars(2)
note Note
studied byStudied by 4 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 3 people
Updated ... ago
5.0 Stars(2)
note Note
studied byStudied by 10011 people
Updated ... ago
4.8 Stars(32)

Explore top flashcards

flashcards Flashcard29 terms
studied byStudied by 13 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard106 terms
studied byStudied by 15 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard154 terms
studied byStudied by 28 people
Updated ... ago
4.0 Stars(1)
flashcards Flashcard39 terms
studied byStudied by 8 people
Updated ... ago
4.0 Stars(1)
flashcards Flashcard20 terms
studied byStudied by 7 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard51 terms
studied byStudied by 10 people
Updated ... ago
5.0 Stars(2)
flashcards Flashcard29 terms
studied byStudied by 54 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard35 terms
studied byStudied by 8 people
Updated ... ago
4.0 Stars(1)