FG- Skilgreiningar og Setningar til prófs 1.

Skilgreining 2.1: Samfelldni Falls í punkti

Fall er samfellt í punkti p ef og aðeins ef:

• Fall er samfellt í punkti p ef limx→p f(x) = f(p).

Skilgreining 2.2 : Einhliða Samfelldni

Einhliða fall f er sagt vera samfellt frá hægri

ef limx→p+ f(x) =f(p) og frá vinstri ef limx→p- f(x) = f(p).

Skilgreining 3.1 : Skilgreining afleiðu

Ef fall f er skilgreint á opna bilinu I. Við segjum f diffranlegt í x er stak í I ef markgildið er til.

Afleiða falls f í punkti p er skilgreind sem lim x→p (f(x) - f(p)) / x- p .

Setning 1.4 : Klemmureglan

G.r.f. að f(x) < g(x) < h(x) fyrir öll x =/= p á einhverju opnu bili um p. Ef limx→p f(x) = a = limx→p h(x), þá er limx→p g(x) = a

Setning 2.7: Setning Bolzano

Setning Bolzano segir að ef fall f er samfellt á lokuðu bili [a, b] og f(a) og f(b) hafa andstæð merki (þ.e. f(a) < 0 og f(b) > 0 eða f(a) > 0 og f(b) < 0), þá er til einhver p í (a, b) þannig að f(p) = 0.

Setning 2.8 Milligildissetningin

Setning 2.8 Milligildissetningin segir að ef fall f er samfellt á lokuðu bili [a, b], f(a) =/= f(b) og k er gildi milli f(a) og f(b), þá er til eitthvert c í (a, b) þannig að f(c) = k.

Setning 2.8: Milligildissetning sönnun

(Setning Bolzano gefin) G.r.f. að f(a) < k < f(b) og skilgreinum fallið

g: g(x) = f(x) - k. Þá er fallið g samfellt á bilinu [a,b], g(a) <0 og g(b) > 0 svo setning Bolzano er virk. Skv Setningu Bolzano hefur g því núllstöð á bilinu ]a,b[, þ.e.a.s. að til er c á opna bilinu ab þannig að g( c ) = f (c ) - k = 0. Sem gefur f( c ) = k