Четырехугольники ()

Параллелограмм

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма

1.Если две стороны равны и параллельны.

2.Если противоположные стороны попарно равны.

3.Если диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в 90°.

Площадь параллелограмма

1.Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

2.Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Прямоугольник

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

1.Все свойства параллелограмма

2.Диагонали равны.

Ромб

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

1.Все свойства параллелограмма.

2.Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

3.Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба

1.Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

2.Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба.

3.Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны ромба на радиус вписанной окружности.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

1.Все свойства прямоугольника.

2.Все свойства ромба.

Площадь квадрата

1.Площадь квадрата равна квадрату стороны.

2.Площадь квадрата равна половине диагонали во второй степени.

Трапеция

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями.

Непараллельные стороны называются боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции

1.Средняя линия параллельна основаниям трапеции.

2. Средняя линия равна полусумме оснований.

3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. 

Свойства равнобедренной трапеции

1.Углы при основаниях равны.

2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

3. Основание высоты равнобедренной трапеции делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.

4. Основания высот равнобедренной трапеции делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.

5. Если трапеция равнобедренная, то ее можно вписать в окружность.

Вписанная окружность в четырехугольник

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Описанная окружность около четырехугольника

1.Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то только тогда около него можно описать окружность.

2.Если два равных угла между стороной и диагональю опираются на один отрезок, то около четырёхугольника можно описать окружность.

Площадь произвольного четырехугольника

Площадь произвольного четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.