Geometria V5.5 - Arturo Masullo

Queste flashcards coprono i concetti fondamentali trattati nel documento di Geometria, inclusi strutture algebriche, spazi vettoriali, matrici, sistemi lineari, applicazioni lineari, teoria spettrale e geometria affine/euclidea.

Singleton

Un insieme costituito da un solo elemento, indicato ad esempio come $S = \{a\}$.

Insieme delle parti

Indicato come $\mathcal{P}(S)$, è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $S$, incluso l'insieme vuoto e $S$ stesso.

Unione disgiunta

L'unione tra due insiemi $S$ e $T$ tale che la loro intersezione sia l'insieme vuoto ($S \cap T = \emptyset$).

Gruppo

Struttura algebrica $G(*)$ che soddisfa la proprietà associativa, possiede un elemento neutro ed ogni elemento possiede un simmetrico (univooco).

Gruppo Abeliano

Un gruppo in cui l'operazione $*$ soddisfa anche la proprietà commutativa ($a * b = b * a$).

Anello

Struttura $A(+, *)$ dove $(A, +)$ è un gruppo abeliano, la seconda operazione è associativa e vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

Campo

Una struttura $K(+, *)$ che è un anello commutativo unitario in cui ogni elemento diverso da $0$ ammette un inverso.

Relazione di equivalenza

Una relazione binaria che soddisfa le proprietà di riflessività, simmetria e transitività.

Insieme quoziente

L'insieme di tutte le classi di equivalenza di un insieme $S$ rispetto a una relazione $R$, indicato come $S/R = \{[x]_R : x \in S\}$.

Vettore libero

Una singola classe di equivalenza costruita sulla relazione di equipollenza tra vettori.

Funzione iniettiva

Una funzione $f: S \rightarrow T$ tale che ad elementi diversi corrispondano immagini diverse: $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$, per ogni $x_1, x_2 \in S$.

Spazio vettoriale sul campo K

Un insieme $V$ dotato di una somma interna e un prodotto per scalari esterni che verifica proprietà di gruppo abeliano e distributività.

Combinazione lineare

Un vettore $\vec{v} \in V$ tale che $\vec{v} = \alpha_1\vec{v}_1 + \dots + \alpha_n\vec{v}_n$ per certi scalari $\alpha_i \in K$.

Dipendenza lineare

Un sistema di vettori è linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare nulla con coefficienti non tutti nulli.

Indipendenza lineare

Un sistema di vettori è libero (o indipendente) se l'unica combinazione lineare nulla è quella con coefficienti tutti nulli: $a_1\vec{v}_1 + \dots + a_n\vec{v}_n = 0 \iff a_i = 0, \forall i$.

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme $U \subseteq V$ chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare, che contiene necessariamente il vettore nullo.

Regola di Grassman

Relazione dimensionale per sottospazi di dimensione finita: $\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W)$.

Somma diretta

Una somma $S = U \oplus W$ tale che $S = U + W$ e $U \cap W = \{0\}$, implicando l'unicità della rappresentazione di ogni vettore.

Span

L'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di un sistema di vettori $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$, indicato come $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$.

Base

Un insieme di vettori $B$ che è contemporaneamente un sistema di generatori per lo spazio $V$ e linearmente indipendente.

Lemma di Steinitz

Afferma che in uno spazio vettoriale, ogni sistema di generatori ha un numero di vettori maggiore o uguale a quello di ogni insieme libero ($s \leq r$).

Dimensione

La cardinalità di una qualunque base di uno spazio vettoriale finitamente generato.

Rango ($\rho$)

Il massimo ordine di un qualunque sistema indipendente massimale di righe o colonne di una matrice $A$.

Matrice a scala

Matrice in cui ogni riga nulla segue quelle non nulle e il pivot di ogni riga è situato più a destra rispetto a quello della riga precedente.

Teorema degli orlati

Afferma che il rango di una matrice è $p$ se esiste un minore non nullo di ordine $p$ e tutti i suoi orlati di ordine $p+1$ sono nulli.

Teorema di Binet

Afferma che per due matrici quadrate $A, B \in M_n$, il determinante del prodotto è pari al prodotto dei determinanti: $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.

Teorema di Rouche-Capelli

Un sistema lineare $Ax = b$ ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale a quello della matrice completa: $\rho(A) = \rho(A : b)$.

Nucleo (Ker f)

Il sottospazio dei vettori del dominio che hanno come immagine il vettore nullo: $\text{Ker}(f) = \{v \in V : f(v) = 0\}$.

Immagine (Im f)

Il sottospazio del codominio costituito dai vettori che sono immagini di almeno un vettore del dominio: $\text{Im}(f) = \{f(v) : v \in V\}$.

Teorema della dimensione

Per un'applicazione lineare $f: V \rightarrow V'$, vale la relazione $\dim(V) = \dim(\text{Im}(f)) + \dim(\text{Ker}(f))$.

Autovettore

Un vettore non nullo $v \in V$ tale che esiste uno scalare $\lambda$ (autovalore) per cui $f(v) = \lambda v$.

Molteplicità algebrica ($m_a$)

Il numero di volte in cui un autovalore compare come radice del polinomio caratteristico.

Molteplicità geometrica ($m_g$)

La dimensione dell'autospazio $V_{\lambda}$ associato all'autovalore $\lambda$.

Spazio affine

Una terna $(V, A, \pi)$ composta da uno spazio vettoriale $V$, un insieme di punti $A$ e un'applicazione $\pi$ che associa a coppie di punti dei vettori.

Spazio vettoriale euclideo

Coppia $(V, s)$ dove $V$ è uno spazio reale e $s$ è un prodotto scalare definito positivo.

Disuguaglianza di Schwarz

In uno spazio euclideo, per ogni coppia di vettori vale $\mid\vec{u} \cdot \vec{v}\mid^2 \leq (\vec{u} \cdot \vec{u})(\vec{v} \cdot \vec{v})$.

Procedimento di Graham-Smith

Algoritmo utilizzato per costruire una base ortogonale (o ortonormale) a partire da una base data.