Chapitre I : Limites et Dérivées de Fonctions

Flashcards de vocabulaire couvrant les règles de dérivation, les définitions des limites finies et infinies, ainsi que les asymptotes horizontales et verticales.

Dérivée d'une fonction constante $f(x) = k$

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x) = 0$ pour toute constante $k$.

Dérivée de la fonction identité $f(x) = x$

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x) = 1$.

Dérivée de la fonction carré $f(x) = x^2$

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x) = 2x$.

Dérivée de la fonction puissance $f(x) = x^n$

Pour tout entier $n > 1$, la fonction est définie sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $f'(x) = n x^{n-1}$.

Dérivée de la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$

Fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}^*$ dont la dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

Dérivée de la fonction exponentielle $f(x) = e^x$

Fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x) = e^x$.

Dérivée de la fonction $f(x) = e^{ax+b}$

Fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x) = a e^{ax+b}$.

Règle de dérivation du produit $u \times v$

Sur les intervalles où $u$ et $v$ sont dérivables, la dérivée de la fonction produit est $f' = u'v + uv'$.

Règle de dérivation de $k u$

Pour une constante $k$ et une fonction $u$ dérivable, la dérivée est $f' = k u'$.

Règle de dérivation du quotient $\frac{u}{v}$

Sur les intervalles où $u$ et $v$ sont dérivables et où $v$ ne s'annule pas, la dérivée est $f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Règle de dérivation de l'inverse $\frac{1}{v}$

Sur les intervalles où $v$ est dérivable et ne s'annule pas, la dérivée est $f' = \frac{-v'}{v^2}$.

Limite finie en $+\infty$

On note $\lim_{x \to +\infty}(f(x)) = l$ si, pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $l$, il existe un nombre $s$ tel que toutes les valeurs $f(x)$ seront dans $I$ dès que $s < x$.

Limite finie en $-\infty$

On note $\lim_{x \to -\infty}(f(x)) = l$ si, pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $l$, il existe un nombre $s$ tel que toutes les valeurs $f(x)$ seront dans $I$ dès que $x < s$.

Asymptote horizontale

La droite d'équation $y = l$ est une asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$) si $\lim_{x \to +\infty}(f(x)) = l$ (ou si $\lim_{x \to -\infty}(f(x)) = l$).

Limite par valeurs inférieures

Notée $\lim_{x \to a^-}(f(x))$ ou $\lim_{x < a}(f(x))$, elle décrit la limite de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ et strictement inférieur à $a$.

Limite par valeurs supérieures

Notée $\lim_{x \to a^+}(f(x))$ ou $\lim_{x > a}(f(x))$, elle décrit la limite de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ et strictement supérieur à $a$.

Asymptote verticale

La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ si $\lim_{x \to a}(f(x)) = -\infty$ ou $\lim_{x \to a}(f(x)) = +\infty$, par valeurs inférieures ou supérieures.

Asymptote (définition intuitive)

Droite qui se confond avec la courbe représentative d'une fonction sur une partie infinie.

Asymptote horizontale de $f(x) = \frac{5x^2}{x^2+10}$

La droite d'équation $y = 5$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

Asymptote verticale de $g(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$

La droite d'équation $x = 2$, car $\lim_{x \to 2^-}(g(x)) = \lim_{x \to 2^+}(g(x)) = +\infty$.