Maths (Convergence/divergence de ∑ et ∫)

Définition d’une série numérique /A: Somme formelle des termes d’une suite (un), notée ∑ un.

Définition des sommes partielles /A: SN = u0 + u1 + … + uN, suite associée à une série.

Définition de la convergence d’une série /A: Une série converge si la suite des sommes partielles admet une limite finie.

Définition d’une série géométrique /A: Série de la forme ∑ qⁿ, avec q ∈ ℝ.

Condition de convergence d’une série géométrique /A: Elle converge si et seulement si |q| < 1.

Somme d’une série géométrique convergente /A: ∑ qⁿ = 1 / (1 - q) si |q| < 1.

Définition d’une série de Riemann /A: Série de la forme ∑ 1/nᵃ avec a > 0.

Condition de convergence d’une série de Riemann /A: Elle converge si et seulement si a > 1.

Définition de la convergence absolue /A: Une série converge absolument si ∑ |un| converge.

Propriété de la convergence absolue /A: Si une série converge absolument, alors elle converge.

Définition d’une série alternée /A: Série dont les signes des termes alternent, souvent de la forme ∑ (-1)ⁿ aₙ.

Critère de Leibniz /A: Une série alternée converge si (aₙ) est décroissante et tend vers 0.

Critère de d’Alembert /A: Si lim (uₙ₊₁ / uₙ) = l, alors la série converge si l < 1, diverge si l > 1.

Critère de Cauchy /A: Si lim (uₙ)¹⁄ⁿ = l, alors la série converge si l < 1, diverge si l > 1.

Définition de suites équivalentes /A: Deux suites (uₙ) et (vₙ) sont équivalentes si lim (uₙ / vₙ) = 1.

Définition d’une intégrale généralisée /A: Intégrale sur un intervalle infini ou avec une fonction non bornée.

Condition de convergence d’une intégrale généralisée /A: Elle converge si la limite de l’intégrale tronquée existe et est finie.

Définition de la convergence absolue d’une intégrale /A: L’intégrale converge absolument si ∫ |f(x)| dx converge.

Propriété de la convergence absolue d’une intégrale /A: Si une intégrale converge absolument, alors elle converge.

Définition du critère de comparaison pour les intégrales /A: Si f ≤ g et ∫ g converge, alors ∫ f converge.

Définition de fonctions équivalentes /A: f ~ g si lim f(x)/g(x) = 1 quand x → a.

Définition d’une intégrale double /A: Intégrale sur un domaine du plan de la forme ∬ f(x, y) dx dy.

Définition d’un rectangle dans ℝ² /A: Ensemble de la forme [a, b] × [c, d].

Définition d’un disque ouvert /A: D(A, r) = {M ∈ ℝ² | d(A, M) < r}.

Définition d’un disque fermé /A: D(A, r) = {M ∈ ℝ² | d(A, M) ≤ r}.

Définition d’une ellipse /A: Ensemble des points M tels que ((x - x₀)² / a²) + ((y - y₀)² / b²) ≤ 1.

Définition d’un domaine Jordan-mesurable /A: Domaine approchable par des polyrectangles avec aire bien définie.

Théorème de Fubini /A: Permet de calculer ∬ f(x, y) dx dy comme ∫ [∫ f(x, y) dy] dx si f continue sur le domaine.

Changement de variables en coordonnées polaires /A: x = r cos(θ), y = r sin(θ), avec jacobien r.

Formule du changement de variables en polaire /A: ∬ f(x, y) dx dy = ∬ f(r cos θ, r sin θ) × r dr dθ.

Définition du jacobien /A: Déterminant de la matrice des dérivées partielles du changement de variables.

Définition d’une série entière /A: Série de la forme ∑ aₙ xⁿ.

Définition du rayon de convergence /A: R tel que la série converge sur ]-R, R[ et diverge en dehors.

Critère de d’Alembert pour rayon de convergence /A: R = lim |aₙ / aₙ₊₁| si la limite existe.

Critère de Cauchy pour rayon de convergence /A: R = 1 / lim |aₙ|¹⁄ⁿ si la limite existe.

Dérivée d’une série entière /A: f'(x) = ∑ n aₙ xⁿ⁻¹ sur l’intervalle de convergence.

Primitive d’une série entière /A: F(x) = ∑ aₙ xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C.

Définition d’une fonction périodique /A: f(x + T) = f(x) pour tout x ∈ ℝ.

Définition d’une fonction continue par morceaux /A: Fonction continue sur chaque intervalle entre points de subdivision, avec limites finies aux points.

Définition des coefficients de Fourier /A: a₀ = (1/2π) ∫ f(x) dx, aₙ = (1/π) ∫ f(x) cos(nx) dx, bₙ = (1/π) ∫ f(x) sin(nx) dx.

Définition de la série de Fourier /A: f(x) ~ a₀ + ∑ aₙ cos(nx) + ∑ bₙ sin(nx).

Théorème de Dirichlet /A: Si f est C¹ par morceaux, la série de Fourier converge vers f(x) ou (f(x⁺) + f(x⁻))/2.

Théorème de Parseval /A: (1/π) ∫ f²(x) dx = a₀² + ∑ (aₙ² + bₙ²)