Lineare Algebra Flashcards

Flashcards zur Wiederholung wichtiger Begriffe, Sätze und Eigenschaften aus den Vorlesungen zur Linearen Algebra 1 und 2 von Dr. Eugenia Saorín Gómez.

Wie wird eine Aussage mit Quantoren negiert?

Eine Aussage, die mit einem Allquantor ($\forall$) beginnt, wird negiert, indem der Allquantor durch einen Existenzquantor ($\exists$) ersetzt und die nachfolgende Aussage negiert wird (und umgekehrt).

Wie ist die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ einer Menge $A$ definiert?

Die Potenzmenge $\mathcal{P}(A)$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$, also $\mathcal{P}(A) \gets \{X \mid X \subseteq A\}$. Es gilt stets $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ und $A \in \mathcal{P}(A)$.

Welche drei Eigenschaften definieren eine Äquivalenzrelation $\sim\,\subseteq M \times M$?

Reflexivität ($\forall m \in M: m \sim m$), Symmetrie ($\forall x, y \in M: x \sim y \Longleftrightarrow y \sim x$) und Transitivität ($\forall x, y, z \in M: x \sim y \land y \sim z \Longrightarrow x \sim z$).

Welche drei Eigenschaften definieren eine Gruppe $(G, *)$?

Assoziativität ($\forall a, b, c \in G: (a * b) * c = a * (b * c)$), neutrales Element ($\exists e \in G \forall g \in G: e * g = g$) und inverses Element ($\forall g \in G \exists g' \in G: g' * g = e = g * g'$).

Wie lauten die drei Unterraumkriterien (U1–U3) für eine Teilmenge $U \subseteq V$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums?

U1: $U \neq \emptyset$, U2: $\forall x, y \in U: x + y \in U$ (Abgeschlossenheit bzgl. Addition), U3: $\forall \lambda \in \mathbb{K}, x \in U: \lambda \cdot x \in U$ (Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation).

Wie lautet die Dimensionsformel für die Summe zweier Unterräume $U, W \le V$?

Für endlich-dimensionale Unterräume gilt $\dim_{\mathbb{K}}(U + W) + \dim_{\mathbb{K}}(U \cap W) = \dim_{\mathbb{K}}(U) + \dim_{\mathbb{K}}(W)$.

Wann ist eine lineare Abbildung $T: V \rightarrow W$ injektiv bzw. surjektiv?

$T$ ist genau dann injektiv, wenn $\text{Kern}(T) = \{0_V\}$, und genau dann surjektiv, wenn $\dim(\text{Bild}(T)) = \dim(W)$.

Wie lautet die Dimensionsformel (Rangsatz) für eine lineare Abbildung $T: V \rightarrow W$?

Für einen endlich-dimensionalen Vektorraum $V$ gilt $\dim(V) = \dim(\text{Kern}(T)) + \dim(\text{Bild}(T))$.

Wie ist der Dualraum $V^*$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ definiert?

Der Dualraum ist der Vektorraum $V^* \gets \text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, \mathbb{K}) = \{f: V \rightarrow \mathbb{K} \mid f \text{ ist linear}\}$. Seine Elemente heißen Linearformen auf $V$.

Wie ist die duale Basis $B^* = (b_1^*, \dots, b_n^*)$ zu einer Basis $B = (b_1, \dots, b_n)$ definiert?

Für $i \in \{1, \dots, n\}$ ist die Linearform $b_i^*$ definiert durch $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$, wobei $\delta_{ij} = 1$ für $i = j$ und $\delta_{ij} = 0$ für $i \neq j$.

Wie hängt die Darstellungsmatrix einer dualen Abbildung $T^*: W^* \rightarrow V^*$ mit der von $T: V \rightarrow W$ zusammen?

Bezüglich der dualen Basen gilt $_{B_1^*}[T^*]_{B_2^*} = (_{B_2}[T]_{B_1})^\top$, das heißt, die Darstellungsmatrix von $T^*$ ist die Transponierte der Darstellungsmatrix von $T$.

Was besagt der Homomorphiesatz für Vektorräume?

Eine lineare Abbildung $T: V \rightarrow W$ induziert einen Isomorphismus $\bar{T}: V / \text{Kern}(T) \rightarrow \text{Bild}(T)$, $v + \text{Kern}(T) \mapsto T(v)$, woraus $V / \text{Kern}(T) \cong \text{Bild}(T)$ folgt.

Wann heißen zwei Polynome $p, q \in \mathbb{K}[t]$ teilerfremd?

Zwei Polynome $p, q$ heißen teilerfremd, wenn für jedes Polynom $s \in \mathbb{K}[t]$ mit $s \mid p$ und $s \mid q$ folgt, dass $s$ ein konstantes Polynom ist.

Wie ist das Signum $\text{sgn}(\sigma)$ einer Permutation $\sigma \in S_n$ über Fehlstände definiert?

Es gilt $\text{sgn}(\sigma) = (-1)^m$, wobei $m$ die Anzahl der Fehlstände von $\sigma$ ist, also Paare $(i, j)$ mit $1 \le i < j \le n$ und $\sigma(i) > \sigma(j)$.

Was besagt der Determinantenmultiplikationssatz?

Für zwei Matrizen $A, B \in \mathcal{M}(n \times n, \mathbb{R})$ gilt $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$.

Wann ist eine quadratische Matrix $A \in \mathcal{M}(n \times n, \mathbb{R})$ invertierbar?

Eine quadratische Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist, also $\det(A) \neq 0$.

Was unterscheidet die algebraische von der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwerts $\lambda$?

Die algebraische Vielfachheit $a(T, \lambda)$ ist die Vielfachheit von $\lambda$ als Nullstelle im charakteristischen Polynom $\chi_T(t)$. Die geometrische Vielfachheit $g(T, \lambda)$ ist die Dimension des Eigenraums $\dim(\text{Eig}(T, \lambda))$.

Welche Abschätzung gilt zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit eines Eigenwerts $\lambda$?

Für jeden Eigenwert $\lambda$ eines Endomorphismus $T$ auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum gilt $1 \le g(T, \lambda) \le a(T, \lambda) \le n$.

Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton?

Jeder Endomorphismus $T: V \rightarrow V$ beziehungsweise jede quadratische Matrix $A$ erfüllt ihr eigenes charakteristisches Polynom, das heißt $\chi_T(T) = 0_{\text{End}(V)}$ bzw. $\chi_A(A) = 0_{\mathcal{M}(n \times n, \mathbb{K})}$.

Wie ist das Minimalpolynom $m_T$ eines Endomorphismus $T$ definiert?

Das Minimalpolynom $m_T \in \mathbb{K}[t]$ ist das eindeutige monische Polynom kleinsten Grades mit $m_T(T) = 0$. Es teilt jedes Polynom $p \in \mathbb{K}[t]$ mit $p(T) = 0$.

Wann ist ein Endomorphismus $T$ anhand seines Minimalpolynoms $m_T$ diagonalisierbar?

$T$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn $m_T$ in Linearfaktoren einfacher Vielfachheit zerfällt, das heißt $m_T = \prod_{i=1}^k (t - \lambda_i)$ mit paarweise verschiedenen $\lambda_i$.

Wann heißt ein Endomorphismus $G: V \rightarrow V$ nilpotent?

$G$ heißt nilpotent, wenn ein $k \in \mathbb{N}$ existiert, sodass $G^k = 0_{\text{End}(V)}$ gilt. Die kleinste solche Zahl $k$ mit $G^{k-1} \neq 0$ heißt Nilpotenzlänge.

Wie lautet die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in einem euklidischen oder unitären Vektorraum?

Für alle $x, y \in V$ gilt $|\langle x, y \rangle|^2 \le \langle x, x \rangle \cdot \langle y, y \rangle$, beziehungsweise $|\langle x, y \rangle| \le |x| \cdot |y|$. Gleichheit gilt genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.

Wie lautet die Parallelogrammgleichung in einem normierten Vektorraum mit induzierter Norm?

Für alle Vektoren $x, y \in V$ gilt $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2 \cdot \|x\|^2 + 2 \cdot \|y\|^2$.

Wie ist die orthogonale Projektion $\text{Proj}_U(v)$ auf einen Unterraum $U$ definiert?

Ist $(b_1, \dots, b_n)$ eine Orthonormalbasis von $U$, so ist die orthogonale Projektion gegeben durch $\text{Proj}_U(v) = \sum_{i=1}^n \langle v, b_i \rangle b_i \in U$.

Was besagt der Kleine Satz von Riesz?

Zu jeder Linearform $\varphi \in V^*$ auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt gibt es ein eindeutiges $v_0 \in V$ mit $\varphi(v) = \langle v, v_0 \rangle$ für alle $v \in V$.

Wann heißt eine lineare Abbildung $T: V \rightarrow V$ normal?

$T$ heißt normal, wenn ihre adjungierte Abbildung $T^{\text{ad}}$ existiert und mit $T$ kommutiert, also $T \circ T^{\text{ad}} = T^{\text{ad}} \circ T$.

Was besagt der Spektralsatz für komplexe normale Endomorphismen?

Ein Endomorphismus $T$ auf einem endlich-dimensionalen komplexen Vektorraum $V$ ist genau dann normal, wenn $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $T$ besitzt (unitäre Diagonalisierbarkeit).

Was besagt der Spektralsatz für reelle Endomorphismen?

Ein Endomorphismus $T$ auf einem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum $V$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $V$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $T$ besitzt (orthogonale Diagonalisierbarkeit).