Álgebra Lineal: Inversas, Espacios Vectoriales y Transformaciones

Flashcards de repaso sobre conceptos fundamentales de álgebra lineal, incluyendo matrices inversas, subespacios, bases, transformaciones lineales y valores propios, basadas en las notas de clase proporcionadas.

¿Qué significa conceptualmente que una matriz tenga una inversa?

La matriz inversa deshace lo que hizo la transformación o la matriz original.

¿Cuál es la condición fundamental del determinante para que una matriz tenga inversa?

El determinante de la matriz debe ser $\text{det} \neq 0$, lo que indica que no se pierde información inicial.

Si $A$ y $B$ son matrices invertibles del mismo tamaño, ¿a qué es igual $(AB)^{-1}$?

$$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$$

¿Cuál es la fórmula para hallar la inversa de una matriz $2 \times 2$ dada por $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$?

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

¿Cuáles son los pasos para hallar una inversa mediante el método de Gauss-Jordan?

1. Construir la matriz aumentada $[A|I]$. 2. Llevar $I$ a la izquierda mediante operaciones elementales. 3. La parte de la derecha resultante es $A^{-1}$.

En un sistema lineal $Ax=b$, si $A$ es invertible, ¿cómo se expresa la solución única?

$$x = A^{-1} b$$

¿Cuáles son las tres condiciones que debe cumplir un subconjunto de vectores $S$ para ser un subespacio en $\mathbb{R}^n$?

1. El vector $0$ está en $S$. 2. Está cerrado bajo suma. 3. Está cerrado bajo producto escalar.

¿Cómo se define el Espacio Nulo ($Nul(A)$)?

Es el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo asociado $Ax = 0$, es decir, todas las transformaciones que satisfacen el resultado cero.

¿Qué efecto tienen las operaciones elementales por filas sobre el subespacio $Ren(A)$?

Cambian la apariencia de la matriz pero preservan el subespacio fila ($Ren(A)$). Por el contrario, no preservan necesariamente el espacio columna ($Col(A)$).

¿Cuál es la relación de igualdad entre las dimensiones de los espacios de una matriz?

$$\text{dim}(Col(A)) = \text{dim}(Ren(A)) = \text{rang}(A)$$

¿Cómo se obtiene una base para el espacio columna $Col(A)$?

1. Se escalona la matriz. 2. Se identifican las columnas pivote. 3. Se toman las columnas correspondientes de la matriz original.

¿Cuál es la fórmula de la dimensión que relaciona el rango y la nulidad?

$\text{Rango}(A) + \text{nulidad} = n$ (donde $n$ es el número de columnas).

¿Qué son las coordenadas de un vector respecto a una base $B$?

Son los coeficientes de la única combinación lineal de los vectores de $B$ que permiten escribir dicho vector.

¿Cuáles son las dos propiedades o condiciones que debe cumplir una Transformación Lineal?

1. Aditividad: $T(u+v) = T(u) + T(v)$. 2. Homogeneidad: $T(cu) = cT(u)$.

¿Cómo se reconoce visualmente que una transformación NO es lineal?

Si las variables tienen potencias, existen productos entre variables, contiene funciones especiales o tiene constantes independientes (donde $T(0) \neq 0$).

¿Cómo se construye la matriz asociada a una transformación lineal?

1. Se aplica $T$ a los vectores de la base canónica. 2. Se escriben los resultados como columnas de la matriz.

¿Qué es un vector propio ($x$) y un valor propio ($\lambda$) de una matriz $A$?

Es un vector no nulo tal que $Ax = \lambda x$, donde el valor propio describe cuánto se estira, comprime o invierte el vector.

¿Cómo se define la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica?

La multiplicidad algebraica es cuántas veces aparece un valor propio como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica es cuántos vectores propios linealmente independientes hay asociados a ese valor propio.

¿Bajo qué condición una matriz $n \times n$ es diagonalizable?

Es diagonalizable si tiene $n$ vectores propios linealmente independientes que pueden formar una base.

Si dos matrices $A$ y $B$ son semejantes ($P^{-1}AP = B$), ¿qué propiedades comparten?

Tienen el mismo determinante, el mismo rango, el mismo polinomio característico y los mismos valores propios.