Mathe B Kapitel 5

Vektorräume

Definition Vektorraum

Vor.: (V, +) abelsche Gruppe, 𝕂 Körper mit skalarer Mult. *: 𝕂 × V → V

V ist Vektorraum über 𝕂, wenn:

• ∀v ∈ V: 1 * v = v

• ∀v ∈ V, ∀µ,λ ∈ 𝕂: (λ * µ) * v = λ * (µ * v) (vgl. AG)

• DG: ∀v,w ∈ V, ∀μ,λ ∈ 𝕂: (λ + μ) * v = λ * v + μ * v und λ * (v + w) = λ * v + λ * w

Elems in V: Vektoren, Elems in 𝕂: Skalare

Kanonische Vektorräume

Vor.: 𝕂 Körper, n ∈ ℕ

𝕂ⁿ ist mit +: 𝕂ⁿ × 𝕂ⁿ → 𝕂ⁿ und *: 𝕂 × 𝕂ⁿ → 𝕂ⁿ ein 𝕂-Vektorraum

• Gruppeneigenschaft von (𝕂,+) überträgt sich auf (𝕂ⁿ,+)

Rechenregeln Vektorräume

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

∀v ∈ V, λ ∈ 𝕂:

• 0 * v = 0 (Vektor)

• (-1) * v = -v

• λ * 0 = 0 (beides Vektoren)

Definition Untervektorräume

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

(U,+) ist UG von (V,+) und * muss in U abgeschlossen sein: *: 𝕂 × U → U

• V und {0} sind immer UVR von V

• Jeder (Unter-) Vektorraum muss durch 0 gehen (0 neutr. Elem von +)

Untervektorraumkriterium

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, U ⊆ V nichtleer

U ist UVR von V, wenn ∀v,w ∈ U, ∀λ,µ ∈ 𝕂: λv + µw ∈ U

• Separat: v,w ∈ U ⇒ v + w ∈ U und λ ∈ 𝕂, v ∈ U ⇒ λv ∈ U

Schnitte von UVR

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, I beliebige nichtleere Indexmenge, U_i ⊆ V ∀i ∈ I

U := ∩_i∈I U_i ist UVR von V

• Es gilt nicht für die Vereinigung (+ nicht abgeschlossen)

Definition Linearkombination

Vor.: v₁, …, v_n ∈ V (𝕂-Vektorraum), λ₁, …, λ_n ∈ 𝕂

v = ∑ⁿ_i=1 λ_iv_i → Linearkombination der v_i mit Koeffizienten λ_i

• Linearkombinationen sind Element des Vektorraums (+, * abgeschlossen auf V)

• Sind alle v_i ∈ U (UVR), ist auch jede Linearkombination von v_i in U

Erzeugendensysteme

Vor.: v₁, …, v_n ∈ V

• Menge aller Linearkombinationen: span{v₁, …, v_n} = {v ∈ V | ∃λ₁, …, λ_m ∈ 𝕂: v = ∑^m_i=1 λ_iv_i}

U := span{v₁, …, v_m} UVR von V → Menge {v₁, …, v_m} ist Erzeugendensystem von V

Erzeugter Untervektorraum