Mathe B Kapitel 5

Vektorräume

Definition Vektorraum

Vor.: (V, +) abelsche Gruppe, 𝕂 Körper mit skalarer Mult. *: 𝕂 × V → V

V ist Vektorraum über 𝕂, wenn:

• ∀v ∈ V: 1 * v = v

• ∀v ∈ V, ∀µ,λ ∈ 𝕂: (λ * µ) * v = λ * (µ * v) (vgl. AG)

• DG: ∀v,w ∈ V, ∀μ,λ ∈ 𝕂: (λ + μ) * v = λ * v + μ * v und λ * (v + w) = λ * v + λ * w

Elems in V: Vektoren, Elems in 𝕂: Skalare

Kanonische Vektorräume

Vor.: 𝕂 Körper, n ∈ ℕ

𝕂ⁿ ist mit +: 𝕂ⁿ × 𝕂ⁿ → 𝕂ⁿ und *: 𝕂 × 𝕂ⁿ → 𝕂ⁿ ein 𝕂-Vektorraum

• Gruppeneigenschaft von (𝕂,+) überträgt sich auf (𝕂ⁿ,+)

Rechenregeln Vektorräume

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

∀v ∈ V, λ ∈ 𝕂:

• 0 * v = 0 (Vektor)

• (-1) * v = -v

• λ * 0 = 0 (beides Vektoren)

Definition Untervektorräume

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

(U,+) ist UG von (V,+) und * muss in U abgeschlossen sein: *: 𝕂 × U → U

• V und {0} sind immer UVR von V

• Jeder (Unter-) Vektorraum muss durch 0 gehen (0 neutr. Elem von +)

Untervektorraumkriterium

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, U ⊆ V nichtleer

U ist UVR von V, wenn ∀v,w ∈ U, ∀λ,µ ∈ 𝕂: λv + µw ∈ U

• Separat: v,w ∈ U ⇒ v + w ∈ U und λ ∈ 𝕂, v ∈ U ⇒ λv ∈ U

Schnitte von UVR

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, I beliebige nichtleere Indexmenge, U_i ⊆ V ∀i ∈ I UVR

U := ∩_i∈I U_i ist UVR von V

• Es gilt nicht für die Vereinigung (+ nicht abgeschlossen)

Definition Linearkombination

Vor.: v₁, …, v_n ∈ V (𝕂-Vektorraum), λ₁, …, λ_n ∈ 𝕂

v = ∑ⁿ_i=1 λ_iv_i → Linearkombination der v_i mit Koeffizienten λ_i

• Linearkombinationen sind Element des Vektorraums (+, * abgeschlossen auf V)

• Sind alle v_i ∈ U (UVR), ist auch jede Linearkombination von v_i in U

Erzeugendensysteme

Vor.: v₁, …, v_m ∈ V

• Menge aller Linearkombinationen: span{v₁, …, v_m} = {v ∈ V | ∃λ₁, …, λ_m ∈ 𝕂: v = ∑^m_i=1 λ_iv_i}

U := span{v₁, …, v_m} UVR von V → Menge {v₁, …, v_m} ist Erzeugendensystem von U

Erzeugter Untervektorraum

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, M ⊆ V

Durch M erzeugter Untervektorraum: span(M) = {∑^m_i=1 λ_iv_i | m ∈ ℕ, ∀i ∈ {1,…,m}: λ_i ∈ 𝕂, v_i ∈ M}

• M kann unendlich sein, aber LK sind immer aus endlich vielen Elementen

• M ⊆ span(M)

• M ist UVR <==> M = span(M)

Defintion Familien von Vektoren

Vor.: Indexmenge I, Vektorraum V

Abbildung I → V, i ↦ v_i

Bezeichnung: (v_i)_i∈I, oder (v₁, …, v_n) bei I = {1, …, n}

• Vektoren sind nach I geordnet, haben feste Plätze

• Doppelte Vektoren erlaubt

• Jede Menge M ⊆ V kann als Familie aufgefasst werden mit geeigneter Indexmenge

Definition Lineare Unabhängigkeit

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

Endliche Familie von Vektoren (v₁, …, v_m) ⊆ V ist linear unabhängig, wenn ∑^m_i=1 λ_iv_i = 0 ==> ∀i ∈ {1, …, m}: λ_i = 0

• Nullvektor mit l.u. Vektoren nur trivial darstellbar (all λ = 0)

• Familie mit Dopplungen ist immer linear abhängig → kein Vektor darf durch andere darstellbar sein

Definition Lineare Unabhängigkeit beliebiger Familien

Familie M ⊆ V (Vektorraum) ist linear unabhängig, wenn jede ihrer endlichen Teilmengen linear unabhängig ist

Kriterium lineare Unabhängigkeit

Vor.: Vektorraum V, Familie M ⊆ V

M ist l.u. <==> jedes v ∈ span(M) hat nur eine Darstellung als L.K von Elementen aus M (eindeutig)

Definition Affine Untervektorräume

Vor.: Vektorraum V, U ⊆ V UVR, v ∈ V

v + U := {v + u | u ∈ U} ist affiner UVR von V

• Jeder UVR ist auch ein affiner UVR, da 0 + U = U

Definition und Nutzen von Basen

Familie B ist Basis von Vektorraum V, wenn es ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V ist

• B ist Basis von V <==> alle v ∈ V lassen sich eindeutig als L.K. aus Vektoren in B darstellen

• Beweis B ist Basis: Es gilt span(B) = V und B ist l.u.

Basisauswahlsatz

Aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines Vektorraums lässt sich eine Basis auswählen

Austauschlemma von Steinitz

Vor.: Vektorraum V, Basis B = (w₁, …, w_n), n ∈ ℕ, v ∈ V als L.K. in B als v = ∑ⁿ_i=1 λ_iv_i, k so, dass λ_k ≠ 0

B’ := B ∪ {v} \ {w_k}

Austauschsatz von Steinitz

Vor.: Vektorraum V, Basis B = (w₁, …, w_n), |B| = n, M = (v₁, …, v_r) ⊆ V l.u. Familie

Es gilt: r ≤ n, ∃n-r Elemente j_r+1, …, j_n ∈ {1, …, n} ∈ B, dass B’ := M ∪ (w_j(r+1), …, w_j(n)) Basis von V

• Sense: Tausche r Elems aus B mit Elementen in M aus (Austauschlemma r-mal)

Länge einer Basis

Vor.: Vektorraum V mit Basis endlicher Länge |B|

Jede weitere Basis ist endlich und hat gleiche Länge

Definition Dimension

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum mit endlicher Basis B

dim V = |B|

• Für B unendlich: dim V = ∞

• Genauere Schreibweise: dim_𝕂 V = |B|

• dim 𝕂ⁿ = n

• Polynome vom Grad ≤ n: dim P_n = n + 1, mögliche Basis B = (1, x, x², …, xⁿ)

Basisergänzungssatz

Zu jeder l.u. Familie M eines Vektorraums existiert eine Basis B mit M ⊆ B

• Jeder Vektorraum besitzt eine Basis

Linear unabhängige Mengen und Basen

Vor.: Vektorraum V, dim V = n ∈ N

Jede l.u. Familie M ⊆ V mit n Elementen ist eine Basis

Dimension von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, W ⊆ V UVR

Es gilt: dim W ≤ dim V und dim W = dim V <=> V = W

Definition Summe von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR

U₁ + U₂ := span(U₁ ∪ U₂)

• Gilt auch für U₁ + … + U_m

• U₁ + U₂ ist der kleinste UVR von V, der U₁ und U₂ enthält

• Alle v ∈ U₁ + U₂ können als v = v₁ + v₂ mit v_i ∈ U_i dargestellt werden → nur eindeutig, wenn U₁ ∩ U₂ = {0}, sonst nicht (0)

Definition Direkte Summe von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR, U₁ ∩ U₂ = {0}

Dann ist U₁ + U₂ die direkte Summe U₁ ⊕ U₂

Eigenschaften von direkten Summen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR

Für U := U₁ + U₂ sind äquivalent:

• U = U₁ ⊕ U₂

• ∀v ∈ U ex. eindeutige Darstellung v = v₁ + v₂ mit v_i ∈ U_i, i ∈ {1,2}

• ∀v_i ∈ U_i, i ∈ {1,2} gilt v₁ + v₂ = 0 => v₁ = v₂ = 0

Dimensionen von Summen von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR

dim(U₁ + U₂) = dim U₁ + dim U₂ - dim(U₁ ∩ U₂)

Definition Direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, …, U_m ⊆ V UVR mit ∀k ∈ {1, …, m}: U_k ∩ (U₁ + … + U_k-1 + U_k+1 + … U_m) = {0}

Dann ist die direkte Summe der Vektorraum U₁ ⊕ … ⊕ U_m := span(U₁ ∪ … ∪ U_m)

• Bedingung stärker als ∀i ≠ j; U_i ∩ U_j = {0} (z.B. x-Gerade darf nicht in y-z Ebene liegen)

• Schnitt von UVR ist wieder UVR

Definition Komplement von Unterräumen

Vor.: U, W ⊆ V UVR von Vektorraum

W ist Komplement von U in V, wenn V = U ⊕ W

• Jeder Unterraum U eines endlich-dimensionalen Vektorraums V besitzt (mind.) ein Komplement

• Das Komplement ist i.A. nicht eindeutig