Algèbre Linéaire

Soit V ⊆ R n . On dit que V est un sous-espace vectoriel de R n si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites.

1. V ≠ ∅ ;

2. ∀ v1 ∈ V, ∀ v2 ∈ V ; v1 + v2 ∈ V ;

3. ∀λ ∈ R, ∀ v ∈ V ; λ × v ∈ V

SEV

Toutes les droites passant par (0,0)

Soit V un sous-espace vectoriel de R n . Soient v1, . . . , vk ∈ V . On dit que v ∈ V est une combinaison linéaire de v1, . . . , vk ↔

∃λ1 ∈ R . . . ∃λk ∈ R v = λ1 · v1 + . . . λk · vk.

Soient v1, . . . , vk ∈ R n . L'espace vectoriel engendré par v1, . . . , vk, est l'ensemble des **combinaisons** **linéaires** des vecteurs v1, . . . , vk.

{v ∈ Rⁿ | ∃ λ1 ∈ R . . . ∃ λk ∈ R; v = λ1 · v1 + . . . λk · vk}

Soit V un sous-espace vectoriel de Rⁿ, soient v1, . . . , vk ∈ V . On dit que {v1, . . . , vk} est une famille génératrice de V (ou partie génératrice de V ) ↔

V = <v₁, . . . , vk>

Soient v1, . . . , vk ∈ R n . On dit que les vecteurs v1, . . . , vk sont linéairement dépendants ↔

∃ λ₁, . . . , ∃ λk ∈ R non tous nuls tels que λ₁ · v₁ + · · · + λk · vk = 0 (le vecteur nul de Rⁿ)

Soit V un sous-espace vectoriel de R n . Soient v1, . . . , vk ∈ V . On dit que {v1, . . . , vn} est une base de V ssi

{v₁, . . . , vn} est à la fois une famille génératrice de V et une famille libre.

Soit V un sous-espace vectoriel de R n . Si B1 et B2 sont deux bases de V , on a nécéssairement que

|B1| = |B2|

Soit V un sous-espace vectoriel de Rⁿ

alors V possède toujours une base

SEV de R³

Passant par (0,0,0)

Quels que soient F et G, des SEV de R³

Alors F ∩ G est un SEV de R³

Soient F ⊆ R³ et G ⊆ R³, si F et G sont des S.E.V de R³

On a pas forcément F ∪ G = S.E.V de R³ ( sauf si F=G ou F/G ⊆ G/F →S.EV de Rⁿ)

Soit V un sous-espace vectoriel de R n . Soit B une base de V constituée de k éléments. On dira que l’espace vectoriel V est de dimension k

dim(V ) = k.

Soit V un sous-espace vectoriel de Rⁿ .

Soit B : {v₁, . . . , vk} une base de V. Soit v ∈ V.

Si v = λ₁ · v₁ + · · · λk · vk = µ₁ · v₁ + · · · µk · vk,

λ₁ = µ₁, . . . , λk = µk

Soit f : A → B une fonction. On dit que f est injective ssi

∀a₁ ∈ A ∀a₂ ∈ A a₁ ≠ a₂ ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂)

Soit f : A → B une fonction. On dit que f est surjective ssi

∀b ∈ B ∃a ∈ A tq f(a) = b

Soit f : A → B une fonction. On dit que f est bijective ssi

f est à la fois injective et surjective

Soient V1 et V2 deux sous-espaces vectoriels de R n . On dit que L : V1 → V2 est une application linéaire ssi

1. ∀u ∈ V1 ∀v ∈ V1 L(u + v) = L(u) + L(v).

2. ∀λ ∈ R ∀v ∈ V1 L(λ · v) = λ · L(v)

Soit L : V1 → V2 une application linéaire. Le noyau de L, noté Ker(L), est défini par

Ker(L) = {v ∈ V1 | L(v) = 0}

. Soit L : V1 → V2 une application linéaire. L’image de L, noté Im(L), est défini par

Im(L) = {v2 ∈ V2 | ∃v1 ∈ V1 L(v1) = v2}.

Soit L : V1 → V2 une application linéaire.

1. Ker(L) est un sous-espace vectoriel de V1.

2. Im(L) est un sous-espace vectoriel de V2

Théorème du rang

dim(V1) = dim(Ker(L)) + dim(Im(L))

Soit L : V1 → V2 une application linéaire telle que Ker(L) = {0}

Si {v1, . . . , vk} est une famille libre dans V1, alors {L(v1), . . . , L(vk)} est une famille libre dans V2

Soient L1 : V1 → V2 et L2 : V2 → V3 deux applications linéaires

La composée L2 ◦ L1 : V₁ → V₃ est une application linéaire. De plus, on a que M_(L2◦L1) = M_L2 · M_L1 (la matrice associé à la composée de L2 ◦ L1 est égale à la multiplication de la matrice associée à L1 * celle associée à L2)

Soit M ∈ R n×m. L’appliction linéaire associée à M, notée LM, est une application linaire LM : R m → R n définie par

LM(v) = M · v, quel que soit v ∈ R^m.

Soit L : V1 → V2 une application linéaire. Soient B1 une base de V1 et B2 une base de V2. La matrice associée à L, notée M_B1→B2 L , est une matrice M telle que

L(v) = MB1→B2 L · v, quel que soit v ∈ V1

Soit V un sous-espace vectoriel. Soit L : V → V une application linéaire. Soit v ∈ V , on dit que v est un vecteur propre de L ssi

1. v ≠ 0 ;

2. il existe λ ∈ R telle que L(v) = λ · v

On dit que λ est la valeur propre associée à v. Si ML est une matrice associée à L, on parlera également des valeurs propres et vecteurs propres de ML

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Soit M ∈ R n×n . On note aij l’élément de M situé en i ème ligne, j ème colonne. On a que M est diagonale ssi

∀i ∀j (i ≠ j) ⇒ aij = 0

Soit V un sous-espace vectoriel. Soit L : V → V une application linéaire. On dit que L est diagonalisable ssi

il existe une base B de V telle que MB→B L est une matrice diagonale

racine de p(x) de multiplicité n

Soit p(x) un polynome. Si p(x) = (x − a)ⁿ . q(x) où q(a) ≠ 0

Soit M ∈ R n×n une matrice carrée. Le polynôme caractéristique de M

pM(λ) = det(λ · Idₙ − M) (id = matrice identité)

Soit M ∈ R n×n une matrice carrée. Soit λ₀ une valeur propre de M. L’espace propre associé à λ₀, est le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs propre associée à λ₀

E_λ₀ = {v ∈ R n | (λ₀ · Idₙ − M) · v = 0}