Statistica- Teorema del limite centrale

Cosa afferma intuitivamente il Teorema del Limite Centrale?

Se estrai tanti campioni di n osservazioni da una popolazione, la distribuzione delle medie campionarie tende ad una Normale al crescere di n, indipendentemente dalla distribuzione originale della popolazione.

Cosa significa che le variabili X1, X2, ..., Xn sono iid?

Significa che sono indipendenti e identicamente distribuite, cioè provengono tutte dalla stessa popolazione con la stessa media μ e la stessa varianza σ², e il valore di una non influenza le altre.

Come si enuncia formalmente il Teorema del Limite Centrale?

Siano X1, X2, ..., Xn variabili casuali iid con media μ e varianza σ² finite. Allora la media campionaria X_medio = (1/n)·somma di Xi si distribuisce approssimativamente come N(μ, σ²/n) al crescere di n. L'approssimazione è buona per n ≥ 30.

Qual è il valore atteso e la varianza della media campionaria X_medio?

E(X_medio) = μ, Var(X_medio) = σ²/n. Al crescere di n la varianza diminuisce, quindi le medie campionarie si concentrano sempre di più attorno al vero valore μ

Qual è il valore atteso e la varianza della somma Sn = X1 + X2 + ... + Xn?

E(Sn) = n·μ, Var(Sn) = n·σ². A differenza della media campionaria, la varianza della somma cresce con n invece di diminuire

Qual è la differenza fondamentale tra la distribuzione della media campionaria e della somma?

La media campionaria ha varianza σ²/n che diminuisce al crescere di n — le medie sono sempre più concentrate attorno a μ. La somma ha varianza n·σ² che cresce con n — la somma è sempre più variabile

Come si standardizza la media campionaria per ottenere una N(0,1)?

Zn = (X_medio - μ) / (σ / radice(n)). Questa quantità converge in distribuzione alla Normale standard al crescere di n