Teorija za MAT II

oblika matrike na splošno

kvadratna matrika

št. vrstic = št. stolpcev

diagonalna matrika

simentrična matrika

• št. vrstic = št. stolpcev

• A_ij = A_ji za vsak j in i

antisimetrična matrika

• št. vrstic = št. stolpcev

• A_ij = - A_ji za vsak j in i

• A_ii = 0

zgornje(spodnje)-trikotna matrika

spodnje-trikotna matrika: A_ij = 0, i < j

ničelna matrika

identična matrika

računanje z matrikami - vsota

računanje z matrikami - produkt s skalarjem

računanje z matrikami - produkt

obrnljive matrike

matrika A ima lahko največ en inverz

diagonalna matrika je obrnljiva

noben izmed diagonalnih členov ni enak nič —> det(A) oz. vsota diag. členov ni enaka nič

matrika AB je obrnljiva

matrika A^-1 je obrnljiva

splošna linearna grupa stopnje n

formule za determinanto

formule za inverz

transponirana matrika

konjugirana matrika

hermitirana matrika

podmatrike

bločni zapis matrike

elemetarne vrstične operacije

vrstična ekvivalenca

elementarne stolpične operacije

ekvivalenca matrik

vrstična kanonična forma matrike

Gaussova in Gauss-Jordanova eliminacija

računanje inverza z Gauss-Jordanovo eliminacijo

kako izgleda sistem linenarnih enačb na splošno

reševanje sistema linearnih enačb

Definicija permutacije in množice Sym(n)

Permutacija prvih n naravnih števil je bijekcija:

$$\sigma : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\}$$

Množico vseh takšnih permutacij označimo z Sym(n) (v literaturi se uporabljata tudi oznaki S_n in Sigma_n).

Število elementov v množici Sym(n) je enako n! (n-fakulteta).

Simetrična grupa

Zapis permutacije

kompozicija dveh permutacij - primer izračuna

inverz dveh permutacij - primer izračuna

translacije na simetrični grupi (-množici vseh permutacij z operacijo komponiranja)

Potence permutacije

Definicija cikla

Lastnosti ciklov in transpozicij

Predznak (signatura) permutacije

Inverzije, indeks ter soda in liha permutacija

Vpliv translacije na predznak in enakost števila sodih/lihih permutacij

Splošna definicija determinante

Oznake in zapis determinante

Determinante matrik majhnih velikosti

Determinanta transponirane matrike

Determinanta trikotnih in diagonalnih matrik

Multilinearnost determinante

Množenje matrike s skalarjem

Null vrstica ali stolpec

vpliv osnovnih vrstičnih in stolpčnih operacij na determinanto

Izračun determinante z Gaussovo eliminacijo

Determinanta produkta - Binet-Cauchyjev izrek

determinanta antisimetrične matrike

determinanta hermitske matrike

determinanta antihermitske matrike

determinanta ortogonalne matrike

determinanta unitarne matrike

determinanta nilpotentne matrike

determinanta bločno trikotne matrike

Vandermondeova determinanta

Podmatrika in minor

Kofaktor in matrika kofaktorjev

Laplaceov razvoj determinante

Razvoj determinante po vrstici ali stolpcu - zgled

Cramerjevo pravilo - splošno

Eksplicitna formula za inverz matrike

Reševanje sistema s Cramerjevim pravilom - zgled

Poddeterminante matrike

Poddeterminante matrike - Zgled

Povezava med poddeterminantami in rangom matrike

Povezava med poddeterminantami in rangom matrike - Zgled

Vektorski prostor

Primeri vektorskih prostorov - zgledi

splošne trditve za vektorje

Vektorski podprostori

Primeri vektorskih podprostorov

Linearna kombinacija

Linearna ogrinjača (Span)

Lastnosti linearne ogrinjače

Generatorji vektorskega prostora (Razpenjanje)

Generiranje prostora Fⁿ

Generatorji vektorskega prostora - zgledi

Linearna odvisnost in neodvisnost končne množice vektorjev

Linearna odvisnost in neodvisnost poljubne podmnožice

Lastnosti linearne odvisnosti in neodvisnosti

povezava: linearna odvisnost - možnost, da en vektor izrazimo z ostalimi

linearno neodvisni ←→ vsak vektor se da z njimi zapisati največ na en način (enolično).

Linearna neodvisnost v Fⁿ

Zgledi (Linearna odvisnost / neodvisnost)

Razširitev neodvisne množice

Baza vektorskega prostora

Urejena končna baza

Razvoj po bazi in koordinate

Baza v Fⁿ

Zgledi (Baze in koordinate)

Ker vektorji hkrati generirajo prostor in so linearno neodvisni, tvorijo bazo