meccanica - corpi rigidi

dammi la definizione di corpo rigido

Un corpo si dice rigido se la distanza tra qualsiasi sua coppia di punti è fissa. Ciò è dovuto ai legami interatomici che tengono fermi gli atomi.

quanti gradi di libertà ha un corpo rigido?

Fissato un punto A nel corpo rigido, abbiamo 3 coordinate (xyz).

Fissato un secondo punto B esso ha 2 gradi di libertà, perché ha distanza fissa da A.

Fissato un terzo punto C esso ha 1 grado di libertà, perché può solo che ruotare attorno la congiungente A-B.

Quindi in totale un corpo rigido ha 3 + 2 + 1 = 6 gradi di libertà

quali sono i tipi di moto che può compiere un corpo rigido? Dimostra che la velocità angolare è la stessa in tutto il corpo

in generale il moto è una successione di coppie rotazione + traslazione infinitesime. In generale l’asse di rotazione cambia nel tempo, infatti viene detto asse di rotazione ISTANTANEO.

Quindi basta conoscere la velocita e la velocità angolare rispetto un asse del corpo per conoscere il suo moto in un istante.

La velocità dipende dalla posizione della particella del corpo rispetto all’asse di rotazione, ma la velocità angolare no perché descrive l’angolo spazzato in un certo tempo.

DIMOSTRAZIONE

Scelgo due punti all’interno del corpo, P e Q, mentre O è il punto per cui passa l’asse di rotazione, allora:

• v_P = v_o + w x OP

• v_Q = v_o + w x OQ

• v_P - v_Q = w x (OP-OQ = w x QP

  quindi v_P = v_Q + w x QP

per cui la velocità angolare è la stessa anche se ho scelto l’asse che passa per Q.

posizione del centro di massa per un corpo rigido?

dato che ρ = dm/dV e che m = ∫dm = ∫ρdV

r_CM = ∫rdm/∫dm = ∫rρdV/ ∫ρdV = 1/m ∫rρdV

se il corpo è OMOGENEO, quindi con ρ costante:

r_CM = ρ/m ∫rdV

quali sono le condizioni necessarie affinché avvenga l’equilibrio?

la somma vettoriale di tutte le forze esterne deve essere nulla, così come la somma di tutti i momenti delle forze esterni

quanti gradi di libertà ci sono nelle rotazioni attorno ad un asse fisso?

quando fisso un punto dell’asse perdo tre gradi di libertà, mentre se ne fisso un’altro (andando quindi a determinare l’asse di rotazione) ne perdo altri 2.

Dai sei gradi di libertà iniziali ne tolgo 5, per cui servirà un’unica equazione per determinare il moto di rotazione attorno ad un asse fisso.

rotazioni intorno ad un asse fisso: determina il momento assiale

uso la seconda equazione cardinale dL_o/dt = M_o

moltiplicandola per il versore u_z ottengo

dL_z/dt = dL_o u_z/dt = M_o u_z = M_z

Mi ricavi la seconda equazione cardinale della dinamica per le rotazioni attorno a un asse fisso (z), partendo dal calcolo del momento angolare del singolo elemento di massa dm signorinaaaaaaaaaaaaa

rotazione di un punto P con asse di rotazione z e origine sopra la circonferenza tracciata da P.

So che ogni elemento ruota con velocità v = w x R (w perp. R)

Inoltre il momento angolare di dm è

• dL = r x p = r x dm v = r dm v u_T = r dm w R u_T

u_T = versore perpendicolare a r e v

• dL_z = dL u_z = r dm w R u_T ° u_z ° 1 ° 1*cos(angolo compreso tra le due u)= r dm w R cos(pi/2 - θ) =

  r dm w R sinθ = dm w R²

integro:

• ∫dL_z = L_z = ∫ w R² dm = ∫ w (x² + y²) ρdV = I_z w

derivando:

dL_z/dt = I_z d²θ/dt² = I_z α = M_z

(non si derviva I_z perché costante rispetto al tempo.)

Nel caso di un corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso, come si muove il centro di massa e da quali forze è determinato il suo moto?

il moto del CM è determinato perché dista R_CM dall’asse di rotazione, per cui:

• a_CM,T = α R_CM

• a_CM,N = w² R_CM = v²_CM / R_CM

• v_CM = w R_CM

rotazioni intorno ad un asse fisso: ricava l’energia cinetica

K = ∫ ½ dm v² = ∫ ½ ρ v² dV = ∫ ½ ρ w² R² dV = ½ I_z w² = ½ L_z²/I_z

rotazioni intorno ad un asse fisso: teorema delle forze vive per calcolare il lavoro e potenza

dW = dK = I_z w dw = I_z dφ/dt dw = I_z dw/dt dφ = M_z dφ

P = dW/dt = M_z w

Qual è la relazione generale tra il momento angolare $\mathbf{L}$ e la velocità angolare $\boldsymbol{\omega}$ per un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso $z$? Quando vale $\mathbf{L} = I_z \boldsymbol{\omega}$?

In generale, per una rotazione attorno a un asse fisso $z$, il vettore momento angolare $\mathbf{L}$ non è parallelo all'asse di rotazione ($\boldsymbol{\omega}$). Esso ammette tre componenti:

$$\mathbf{L} = (L_x, L_y, L_z)$$

• Componente lungo l'asse ($z$): È sempre determinata dal momento d'inerzia rispetto a quell'asse:

  $$L_z = I_z \omega$$

• Componenti trasversali ($x, y$): Sono determinate dai prodotti d'inerzia ($I_{xz}, I_{yz}$), che misurano l'asimmetria della massa rispetto all'asse:

  $$L_x = -I_{xz}\omega, \quad L_y = -I_{yz}\omega$$

momento d’inerzia rispetto un asse di rotazione fisso

I = ∫ R² dm

dove R = distanza punto infinitesimo di massa dm-asse.

= ∫_V ρ R² dV

= ∫_V ρ (x²+y²) dV

momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria di un asta di lunghezza L

I = ∫_-L/2^L/2 x² dm = ∫ ρ x² dx = ρ (L³/24 + L³/24) = m L² / 12

momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria di un anello sottile di raggio R

I = ∫₀^2pi R² dm = ∫ ρ R² dl = ρ R² ∫ dl = ρ R² 2 pi R

circonferenza cerchio

ρ * circonferenza = massa, per cui

I = m R²

oppure

m = ρ * 2 pi R

I = ∫₀^2pi R² dm = ∫ R² R dθ ρ = 2 pi R³ ρ = m R²

momento d’inerzia rispetto all’asse di simmetria di un disco di raggio R

so che ρ = m / pi R²

I = ∫₀^R dr ∫₀^2pi dθ r r² ρ = 2 pi R⁴/4 ρ = ½ m R²

momento d’inerzia rispetto ad un asse di simmetria di un cilindro di raggio R e altezza L

ρ = m / pi R² L

I = ∫₀^R dr ∫₀^2pi dθ r ∫₀^L dz r² s =

= R⁴/4 2 pi L ρ = ½ m R²

momento d’inerzia rispetto ad un asse di simmetria di una sfera di raggio R

ρ = m / 4/3 pi R³

sin²θ = 1 - cos²θ

sinθdθ = -d cosθ

I = ∫₀^R dr ∫₀^pi dθ r sinθ ∫₀^2pi dφ (rsinθ)² ρ =

= 2 pi R⁵/5 ∫_-1¹ d cosθ (1 - cos²θ) ρ =

= 2 pi R⁵/5 (2-2/3) = 2 pi R⁵/5 4/3 m/(4/3 pi R³) = 2/5 R² m

enuncia e dimostra il teorema di Huygens - Steiner

il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse che di trova a distanza D dal CM è dato dalla somma del momento di inerzia rispetto ad un asse parallela ma passante per il CM I₀ e del prodotto mD²

I = I₀ + mD²

DIMOSTRAZIONE

nuove coordinate di P:

z’ = z

x’ = x

y’ = y + D

I = ∫_V (x²+y²) dm =

passo alle coordinate del nuovo asse di rotazione

∫ [x’² + (y’ - D)²] dm =

svolgo il quadrato di binomio

∫ [x’² + y’² - 2Dy’ + D²] dm =

= ∫ (x’² + y’²) dm + D² ∫ dm - 2D ∫ y’ dm

• momento d’inerzia rispetto l’asse z’

• mD²

• nullo, perché =my’_CM con y’_CM la coordinata del CM è posta = 0

applicazione di huygens-steiner: calcola il momento d’inerzia di un’asta con punto fisso in uno degli estremi

I = I₀ + mD² = m L² / 12 + m L²/4 = m L² / 3

applicazione di huygens-steiner: calcola il momento d’inerzia di un disco con punto fisso in un estremo

I = I₀ + mD² = ½ m R² + mR² = 3/2 m R²

applicazione di huygens-steiner: calcola il momento d’inerzia di una sfera con punto fisso in un estremo

I = I₀ + mD² = 2/5 R² m + m R² = 7/5 R² m

applica il teorema di Huygens-Steiner all’enercia cinetica nel caso di una rotazione attorno ad un asse fisso che non passa per il centro di massa

K = ½ I w² =(H-S)= ½ (I_CM + mD²) w² = ½ I_CM w² + ½ m v²

Va a spiegare il teorema di Konig per l’energia cinetica, infatti

• energia cinetica NEL CM

• energia cinetica DEL CM

quando abbiamo un moto di precessione?

quando c’è un momento esterno non parallelo a L

dimostra la velocità angolare di precessione

considero due masse attaccate da un asta che ruotano sull’asse di rotazione che passa per il centro dell’asta, inclinato di un angolo θ rispetto l’asse.

so che la componente perpendicolare all’asse di rotazione del momento angolare L_p * w = 0

Poiché il moto delle due masse è circolare ci deve essere una forza che le spinge costantemente verso l’interno, ma:

• momento delle forze con forza peso: (r₂ = -r₁)

  r₁ x mg + r₂ x mg = (r₁ - r₁) x mg = 0

allora calcolo per una generica F, sapendo che F₂ = -F₁

• r₁ x F₁ + r₂ x F₂ = r₁ x F₁ + (-r₁) x (-F₁) =

  = 2r₁ x F₁ = M_tot

Che sappiamo essere perpendicolare al piano individuato da r e F (verso individuato dalla regola della mano destra)

Adesso studio il verso z:

dL_z/dt = M_z = 0 perché M è perpendicolare a w

quindi L_z si conserva

L = r₁ x mv₁ + r₂ x mv₂ = 2r₁ x mv₁

quindi L è perpendicolare al piano individuato dai vettori r e v.

F perp v

r x F perp r x v = M perp L = dL/dt perp L

per cui dz/dt = 0 e L * dL/dt = 0

quindi tutto L si conserva → anche L_p

Uso la formula di Poisson per cui esiste Ω perp a L_p e dL_p/dt tale che Ω x L_p = dL_p/dt

Ma L è perpendicolare alla sbarra e ruota con essa, quindi anche L_p ruota con w e pertanto precede

Mi definisca il vettore momento angolare L per un corpo rigido che ruota con velocità angolare ω attorno a un punto fisso O. Partendo dalla definizione integrale L=∫r×(ω×r)dm, mi mostri come emerge la struttura della matrice d'inerzia e mi spieghi, dal punto di vista fisico, perché in generale il vettore L non è parallelo a ω. Qual è la condizione geometrica affinché tale parallelismo sia verificato?

spiega come mai avviene la precessione degli equinozi

trova la relazione dìtra la velocità di precessione omega grande e la velocità di rotazione omega piccolo con l’esempio della trottola

Cosa accade se forziamo un corpo a ruotare attorno a un asse che NON è principale? Mi descriva la nascita del momento delle forze esterne M necessario per mantenere tale rotazione

spiega come calcolare l’energia cinetica di un corpo rigido che ruota attorno ad un punto fisso

quando avviene un moto di puro rotolamento? dimostra che entrambi i modi di vedere il rotolamento sono equivalenti

Quando un corpo ruota senza strisciare attorno al punto di contatto

Come si calcola l’energia cinetica di un corpo in moto di puro rotolamento?

K = ½ I_c w² = (H-S) = ½ w² (I_CM + mR²) =½ I_CM w² + ½ m v²_CM

= ½ m (wR)² + ½ I_CM w²