Probabilités conditionnelles et indépendance

Flashcards de révision sur le chapitre des probabilités conditionnelles, arbres pondérés, partitions de l'univers et indépendance d'événements.

Comment est définie la probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, lorsque $A$ est de probabilité non nulle ?

Elle est définie par le nombre $P_A(B) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.

Selon la Proposition 1.2, que vaut la somme de la probabilité conditionnelle d'un événement et celle de son contraire sachant $A$ ?

La somme vaut $1$, soit $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$, avec $0 \le P_A(B) \le 1$.

Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle $P_A(B)$ dans une situation d'équiprobabilité ?

Elle vaut $P_A(B) = \frac{\text{nombre d'éléments de } B \cap A}{\text{nombre d'éléments de } A}$.

Quelles sont les deux expressions de la formule des probabilités composées pour calculer $P(A \cap B)$ ?

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ (avec $P(A) \neq 0$) et $P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$ (avec $P(B) \neq 0$).

Dans un arbre de probabilités, à quoi correspondent une branche, un chemin et un nœud ?

Une branche relie deux événements et porte sa probabilité ; un chemin est une suite de branches représentant l'intersection des événements ; un nœud est le point de départ d'une ou plusieurs branches.

Quelles sont les trois règles d'utilisation d'un arbre pondéré ?

1. La somme des probabilités sur les branches issues d'un même nœud vaut $1$. 2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches le composant. 3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.

Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles sont incompatibles ou disjoints ?

Ils sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas se produire simultanément.

Quelles sont les conditions pour que des événements $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ ?

Ils doivent avoir des probabilités non nulles, être deux à deux incompatibles ($A_i \cap A_j = \emptyset$ si $i \neq j$), et leur réunion doit former l'univers $\Omega$.

Pourquoi un événement $A$ de probabilité non nulle et son contraire $\bar{A}$ forment-ils une partition de l'univers ?

Parce qu'ils sont incompatibles et que leur réunion couvre l'ensemble de l'univers $\Omega$.

Quelle est la formule des probabilités totales pour calculer $P(B)$ avec une partition $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ ?

$$P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + P(A_3 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)$$

Quel est le cas particulier de la formule des probabilités totales pour un événement $B$ en utilisant $A$ et $\bar{A}$ ?

$$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$$

Selon la Définition 3.1, à quelle condition deux événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Ils sont indépendants si $P_A(B) = P(B)$.

Qu'est-ce qu'une succession d'épreuves indépendantes ?

C'est une succession d'épreuves aléatoires dont les issues de la précédente n'influencent pas celles de la suivante.

Quelle proposition caractérise l'indépendance de deux événements $A$ et $B$ à l'aide de leur intersection ?

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, quelles autres paires d'événements sont également indépendantes selon la Proposition 3.4 ?

Les événements $\bar{A}$ et $B$, $A$ et $\bar{B}$, ainsi que $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont également indépendants.