limites de suite

Quels sont les trois types de limites de suite ?

• limite infinie : $\lim_{n\rightarrow+\infty}Un=\pm\infty$

• Limite finie : $\lim_{n\rightarrow+\infty}Un=l$

• Pas définie : $\lim_{n\rightarrow+\infty}Un= on sait pas$

Un exemple de suite qui n’a pas de limite ?

Un = cos(n)

Suite convergente vs divergente ?

Convergente = suite tend vers $l$

Divergente (signifie juste pas convergente) = tend vers l’infini ou n’a pas de limite

Suite majorée vs minorée vs bornée

• Majorée : $\forall n\in\mathbb{N},Un\le M$

M est un majorant

• Minorée : $\forall n\in\mathbb{N},Un\ge m$

m est un minorant

• bornée : $\forall n\in\mathbb{N},m\le Un\le M$

Combien de majorants a une suite majorée / minorants a une suite minorée ?

Une infinité mais il en existe toujours un optimal = le plus précis

Toute suite croissante/décroissante est ?

Croissante → minorée par son 1er terme

Décroissante → majorée par son 1er terme

Les trois méthodes pour montrer qu’une suite est majorée minorée ou bornée ?

a) encadrements successifs

b) utiliser une fonction équivalente (étudier les var de f sur N)

c) raisonnement par récurrence (montrer que Un < M par exemple)

Que peut on dire dans une suite convergente quand on connaît $l$ ?

Pour tout intervalle ouvert I contenant $l$

(Par exemple ]$l-10;l+10$[)

Il existe un n tel que à partir de Un toutes les images sont comprises dans l’intervalle

Vers quoi converge $\frac{k}{n^{nombre}}$ ?

0

Vers quoi converge $\frac{k}{\sqrt{n}}$ ?

0

Vers quoi converge k\exponentialE^{-n} ?

0

Que peut on dire d’une suite qui a une limite infinie

$\forall A\in\mathbb{R}$ , il existe un n tel que à partir de Un toutes les images sont supérieures à A

Quelle est la limite de $kn^{nombre}$

$+\infty$ si k > 0

$-\infty$ si k < 0

Quelle est la limite de $k\sqrt{n}$ ?

$+\infty$ si k > 0

$-\infty$ si k < 0

Quelle est la limite de k\exponentialE^{n} ?

$+\infty$ si k > 0

$-\infty$ si k < 0

Théorème des suites divergentes ?

Toute suite

• croissante non majorée tend vers $+\infty$

• décroissante non minorée tend vers $-\infty$

Limite de

Un (tend vers l) + Vn (tend vers l’)

l+l’

Limite de

Un (tend vers l) + Vn (tend vers +♾)

+♾

Limite de

Un (tend vers l) + Vn (tend vers -♾)

-♾

Limite de

Un (tend vers +♾) + Vn (tend vers +♾)

Ou

Un (tend vers -♾) + Vn (tend vers -♾)

• +♾

• -♾

Limite de

Un(tend vers +♾) + Vn(tend vers -♾)

Forme Indéterminée F.I.

Limite de

Un(tend vers l) * Vn(tend vers l’)

l*l’

Limite de

Un (tend vers l ≠ 0) * Vn (tend vers ♾)

♾

→ le signe dépend de la règle du signe d’un produit

Limite de

Un (tend vers ♾) * Vn (tend vers ♾)

♾

→ le signe dépend de la règle d’une signe d’un produit

Limite de

Un(tend vers 0)*Vn(tend vers ♾)

Forme indéterminée F.I.

Limite de

Un(tend vers l) / Vn (tend vers l’)

l / l’

Limite de

Un(tend vers l ≠ 0) / Vn(tend vers 0)

♾

→ le signe dépend de la règle du signe d’un quotient

Limite de

Un(tend vers l) / Vn(tend vers ♾)

0

Limite de

Un(tend vers ♾) / Vn(tend vers l)

♾

→ le signe dépend de la règle du signe d’un quotient

Limite de

Un(tend vers ♾) / Vn(tend vers ♾)

Forme Indéterminée F.I.

Limite de

Un(tend vers 0) / Vn(tend vers 0)

Forme Indéterminée F.I.

Lever l’indétermination quand on a une somme ?

(=on fait quoi quand on est face à une forme indéterminée)

Factoriser par le terme de n de plus haut degré pour en faire un produit

Lever l’indétermination quand on a un quotient ?

(=on fait quoi quand on est face à une forme indéterminée)

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Simplifier (parfois on peut simplifier pour obtenir un q^n)

Simplifier $\frac{x^{n}}{y^{n}}$

$$\left(\frac{x}{y}\right)^{n}$$

On obtient un q^n

Théorème de comparaison ?

On veut savoir vers quoi tend Un

On connaît une suite Vn telle que

• Vn tend vers +♾ et Un>Vn (alors on peut démontrer que Un tend vers +♾)

Ou

• Vn tend vers -♾ et Un<Vn (alors on peut démontrer que Un tend vers -♾)

Théorème des gendarmes

On veut savoir vers quoi tend Un

On connaît deux suites Vn et Wn qui tendent vers l

Si Vn =< Un =< Wn

Alors Un tend vers l

Pourquoi quand on voit cos ou sin dans la formule d’une suite on peut direct penser à utiliser le théorème de comparaison ou des gendarmes ?

-1 =< cos =< 1

-1 =< sin =< 1

Avec ça on peut créer les suites adéquates pour ces théorèmes

Théorème de la limite monotone ?

Si

• la suite est croissante | décroissante

• la suite est majorée | minorée

Alors la suite converge

Corollaire du théorème de la limite monotone ?

Si on a réussi à appliquer le théorème de la limite monotone et que :

• la suite est majorée par M : elle converge vers l =< M

• la suite est minorée par m : elle converge vers l >= m

Limite d’une suite de la forme q^n (et ça sert à quoi) ?

q =< -1 : pas de limite

-1 <q<1 : tend vers 0

q = 1 : tend vers 1

q > 1 : tend vers +♾

→ on peut ainsi calculer les limites de toute suite géométrique car elles sont de la forme U0*q^n

En résumé comment trouve-t-on la limite d’une suite ?

1. si c’est une suite simple on calcule à la main (on peut utiliser q^n)

2. S’il y a des opérations on utilise les règles associées

3. Si on est face à une forme indéterminée on factorise (on peut utiliser q^n)

3. Si je vois sin et cos dans la formule ou si c’est dur des factoriser et que je connais des suites qui pourraient fonctionner : théorème de comparaison ou des gendarmes

3. Si tout ce que je sais c’est que la suite est (dé)croissante et majorée/minorée j’utilise le théorème de la limite monotone

Présenter une factorisation pour lever l’indétermination ?

Présenter le théorème de comparaison/des gendarmes

• suite plus petite plus grande que suite bis

• Limite de suite bis =

• Par comparaison/selon le théorème des gendarmes

Image d’une suite convergente par une fonction continue

Si Un converge vers l

Lim f(Un) = f(l)

Que signifie $\subset$ ?

« Est inclu dans »

Un intervalle est inclu dans un autre

Les deux moyens de résoudre une équation du 2nd degré ?

• avec $\Delta$

• En factorisant pour faire un produit nul

On connaît la définition par récurrence d’une suite

Un+1 = f(Un)

Comment trouver la limite de Un ?

1. Vérifier les pré-requis :

• f vérifie f(I) $\subset$ I (Alors Un converge)

• f est continue sur un certain I (alors on peut utiliser l’équation)

2. Alors Un converge vers l solution de l’équation f(x) = x

Montrer facilement que (Un) est croissante et bornée par 0 et 3

Montrer par récurrence que

0 =< Un =< Un+1 =< 3

Quand est ce que graphiquement f(x) = x ?

Au point d’intersection de la droite représentative de f(x) et de $\Delta$ (droite d’équation y = x)

Trouver la limite de Un entre plusieurs solutions de l’équation f(x)=x ?

• Utiliser le fait que (Un) est dé.croissante donc l forcément plus petit ou plus grand que U0

• Utiliser les bornes de Un (l ne peut pas en sortir)

Prouver facilement qu’une suite n’est pas majorée/minorée ?

Majorée :

On veut montrer que pour tout nombre M, on peut trouver un n tel que Un>M

Donc on prend la formule de Un et on résout Un>M

→ ensuite ça nous prouve que la suite tend vers l’infini

Minorée :

On veut montrer que pour tout nombre m, on peut trouver un n tel que Un < m

On fait pareil et ça nous prouve la même chose