Kapitel 9 Hohere Math 2

Abstand zwischen zwei Funktionen

Formel: $\|f - g\|_{\sup} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x) - g(x)|$. Misst den maximalen Abstand zwischen zwei Funktionen.

Eigenschaften der Supremumsnorm

1) $\|f\|_{\sup} \ge 0, \|f\|_{\sup} = 0 \iff f \equiv 0$\n2) $\|\lambda f\|_{\sup} = |\lambda| \|f\|_{\sup}$\n3) Dreiecksungleichung: $\|f + g\|_{\sup} \le \|f\|_{\sup} + \|g\|_{\sup}$

Eine Folge $(f_n)$ konvergiert gleichmäßig gegen $f$ auf $[a, b]$ genau dann, wenn:

$$\lim_{n \to \infty} \|f - f_n\|_{\sup} = 0$$

Stetigkeit des gleichmäßigen Limes

Der gleichmäßige Limes einer Folge stetiger Funktionen $f_n$ ist wieder eine stetige Funktion $f$.

f:(a,b)→R stetig, x $\in$ (a,b)

Integralfunktion $F(x) := \int_a^x f(y) \, dy$ stetig differenzierbar mit $F'(x) = f(x)$.

$$\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)g(x)\,dx=$$

$$f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f(x)g^{\prime}(x)\,dx$$

LIATE-Regel (Partielle Integration)

Priorität für die Wahl von $g(x)$ (wird differenziert): Logarithmisch > Invers Trigonometrisch > Algebraisch/Polynom > Trigonometrisch > Exponentiell.

$$\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=$$

$\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\,dy$ mit $y = g(x)$.

Substitution für $\sqrt{r^2-x^2}$

$$y = r \cdot \cos(x)$$

Substitution für $\sqrt{r^2 + x^2}$

$x = r \cdot \sinh(t)$ wegen $1 + \sinh^2(t) = \cosh^2(t)$

Substitution für rationale Trigonometrisch(1/sin,cos)

$x = a \cdot \tan(t)$, woraus $dx = a(1 + \tan^2(t)) \, dt$ folgt.

Uneigentliches Integral

$\int_a^b f(x) \, dx := \lim_{\alpha \searrow a} \int_\gamma^\alpha f(x) \, dx + \lim_{\beta \nearrow b} \int_\gamma^\beta f(x) \, dx$ ($-\infty \le a < b \le \infty$).

Absolute Konvergenz (Integrale)

Ein uneigentliches Integral $\int_a^b f(x) \, dx$ heißt absolut konvergent, wenn $\int_a^b |f(x)| \, dx < \infty$.

Majorantenkriterium

Gilt $|f(x)| \le g(x)$ auf $]a, b[$ und ist $g$ uneigentlich integrierbar, so ist $f$ absolut integrierbar auf $]a, b[$.

Integraltest für Reihen

Für eine monoton fallende Funktion $f$ entspricht die Konvergenz der Reihe $\sum_{k=1}^\infty f(k)$ der Konvergenz des Integrals $\int_1^\infty f(x) \, dx$.

cos²(x)=

$$\frac{1+cos(2x)}{2}$$

sin²(x)

$$\frac{1-cos(2x)}{2}$$

$$\int\frac{dx}{u^2 + a^2}$$

$$\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{u}{a}\right)+C$$