Mathematik Vorkurs - Flashcards

Vokabel-Karteikarten zu allen Kernbegriffen des Mathe-Vorkurses.

Binomialkoeffizient

Mathematische Formel zur Berechnung von Kombinationsmöglichkeiten, definiert als $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$ für $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$ und $k \in \{0, 1, \dots, n\}$.

Menge (naive Mengenlehre)

Eine Gesamtheit von wohlunterscheidbaren Elementen.

Allquantor und Existenzquantor

Der Allquantor $\forall$ steht für "für alle", während der Existenzquantor $\exists$ für "es existiert mindestens ein" steht.

Schnittmenge (Durchschnitt)

Die Menge aller Elemente, die in beiden Mengen gleichzeitig enthalten sind, definiert als $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$.

Vereinigungsmenge

Die Menge aller Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen enthalten sind, definiert als $A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$.

Äquivalente Umformung

Eine Umformung einer Gleichung oder Ungleichung, bei der sich die Lösungsmenge nicht ändert.

Faktorregel (Ableitung)

Allgemeine Ableitungsregel für eine Funktion mit konstantem Faktor $y = a \cdot f(x)$: Die Ableitung lautet $y' = a \cdot f'(x)$.

Produktregel (Ableitung)

Allgemeine Ableitungsregel für das Produkt zweier Funktionen $y = f(x) \cdot g(x)$: Die Ableitung lautet $y' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.

Kettenregel (Ableitung)

Ableitungsregel für verkettete Funktionen $y = f(g(x))$, bestehend aus äußerer Funktion $f$ und innerer Funktion $g$: Die Ableitung lautet $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Bogenmaß

Winkelmaß basierend auf der Länge des Kreisbogens im Einheitskreis, wobei ein Vollkreis $2\pi\,\text{rad}$ entspricht.

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt mehrerer Faktoren ist genau dann gleich null, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist: $T_1 \cdot T_2 \cdot \dots \cdot T_n = 0 \iff T_1 = 0 \lor T_2 = 0 \lor \dots \lor T_n = 0$.

Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum

Für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ muss die erste Ableitung null sein: $f'(x_0) = 0$.

Achsensymmetrie zur y-Achse

Eigenschaft einer geraden Funktion $f(x)$, für die für alle $x$ im Definitionsbereich gilt: $f(x) = f(-x)$.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren zweier Zahlen mit der jeweils kleinsten Potenz.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren zweier Zahlen mit der jeweils höchsten Potenz.

Teilbarkeitsregel für 3

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Hierarchie der Rechenoperationen

Standardreihenfolge bei mathematischen Berechnungen: 1. Klammern, 2. Potenzen und Wurzeln, 3. Punktrechnung (Multiplikation/Division), 4. Strichrechnung (Addition/Subtraktion).

Logarithmus

Der Exponent $b$, mit dem eine Basis $a$ potenziert werden muss, um den Wert $c$ zu erhalten: $a^b = c \iff b = \log_a(c)$.

Logarithmengesetz für Produkte

Regel zur Aufspaltung des Logarithmus eines Produkts: $\log_c(a \cdot b) = \log_c(a) + \log_c(b)$.

Potenzgesetz für Potenzen von Potenzen

Regel zur Vereinfachung einer potenzierten Potenz: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.