Mathe B Kapitel 4

Komplexe Zahlen

Definition Menge der komplexen Zahlen

ℂ := {a + bi | a,b ∈ ℝ} mit i² = -1 (also i = √-1)

• Schreibweise z = a + bi, Realteil Re(z) := a, Imaginärteil Im(z) := b

• ℝ ⊂ ℂ: ℂ als Erweiterung der reellen Zahlen, bei reellen Zahlen ist Im(z) = 0

Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

Vor.: z₁ = a + bi, z₂ = c + di ∈ ℂ.

• +: ℂ × ℂ → ℂ, z₁ + z₂ := (a + c) + (b + d)i

• *: ℂ × ℂ → ℂ, z₁ * z₂ := (ac - bd) + (ad + bc)i => hier einfach normal multiplizieren

Neutrale und inverse Elemente der komplexen Zahlen

• +: 0 = 0 + 0i

• *: 1 = 1 + 0i

• Inverse +: -z = -a - bi

• Inverse *: z^-1 = 1/z = (a - bi) / (a² + b²)

ℂ als Körper

Menge ℂ bildet mit + und * einen (kommutativen) Körper

• ℂ ist nicht angeordnet: ≤ und ≥ sind nicht anwendbar

Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen