Kapitel 2.1 - Bernoulli-Ketten

Was ist ein Bernoulli-Experiment und wann entsteht eine Bernoulli-Kette?

• Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ergebnisse und die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt gleich.

• Eine Bernoulli-Kette entsteht, wenn dieses Experiment n-mal hintereinander durchgeführt wird und p dabei konstant bleibt.

Wie lautet die Bernoulli-Formel und wann wird sie angewendet?

• B (n; p; k) = (n k)⋅p^k⋅(1−p)^n−k

• Die Formel wird angewendet, um die Wahrscheinlichkeit für "genau k Treffer" zu berechnen.

Wie lautet die allgemeine Vorgehensweise bei der Lösung von Aufgaben zu Bernoulli-Ketten?

• 1. Definiere n (Anzahl der Versuche) und p (Trefferwahrscheinlichkeit).

• 2. Bestimme die Art der Fragestellung ("genau k", "höchstens k", "mindestens k").

• 3. Wähle die entsprechende Berechnungsmethode (Formel, Summation, Gegenereignis).

• 4. Führe die Rechnung durch und interpretiere das Ergebnis.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für "höchstens k Treffer"?

• Für "höchstens k" (d.h., 0,1,2,…,k Treffer) muss man die Einzelwahrscheinlichkeiten summieren: P(x ≤ k) = B (n; p; 0) + B (n; p; 1) + ⋯ + B (n; p; k)

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für "mindestens k Treffer" am einfachsten?

• Für "mindestens k" (d.h., k,k+1,…,n Treffer) nutzt man das Gegenereignis ("weniger als k Treffer"): P(x ≥ k) = 1 − P (x ≤ k − 1)

Wie werden Wahrscheinlichkeiten verknüpft, wenn die Ereignisse mit "Oder" bzw. "Und" verbunden sind?

• Bei der Verknüpfung von unabhängigen Ereignissen mit "Und" werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

• Bei der Verknüpfung von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen mit "Oder" werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für "mehr als k Treffer"?

• "Mehr als k" bedeutet k + 1 oder mehr Treffer.

• Dies wird am besten über das Gegenereignis ("höchstens k Treffer") berechnet: P(x > k) = 1− P(x ≤ k)

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für "weniger als k Treffer"?

• "Weniger als k" bedeutet höchstens k−1 Treffer. Hier werden die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k − 1 addiert: P(x < k) = P(x ≤ k − 1)