Inégalités, Valeur Absolue et Fonctions Usuelles dans R

Flashcards de vocabulaire fondées sur le cours traitant des inégalités dans R, des valeurs absolues, des radicaux, et des fonctions logarithme et exponentielle.

Droite numérique

Droite orientée $D$ munie d'un repère $(O, A)$ confondue avec $\mathbb{R}$, où tout point $M \in D$ est défini par son abscisse $x \in \mathbb{R}$ telle que $\vec{OM} = x \vec{OA}$.

Majorer un réel $x$

Consiste à déterminer un réel $M \in \mathbb{R}$ tel que $x \le M$.

Minorer un réel $x$

Consiste à déterminer un réel $m \in \mathbb{R}$ tel que $m \le x$.

Borner un réel $x$

Consiste à déterminer deux réels $m, M \in \mathbb{R}$ tels que $m \le x \le M$.

Valeur absolue d'un réel $x$

Distance entre $x$ et $0$, notée $|x| = d(x, 0)$, égale à $x$ si $x \ge 0$ et $-x$ si $x \le 0$, c'est-à-dire $|x| = \max(x, -x)$.

Inégalité triangulaire

Pour tous réels $a, b \in \mathbb{R}$, $|a + b| \le |a| + |b|$, avec égalité si et seulement si $a$ et $b$ ont le même signe.

Inégalité triangulaire renversée

Pour tous réels $a, b \in \mathbb{R}$, $||a| - |b|| \le |a - b|$.

Théorème de la limite monotone

Toute suite réelle, croissante et majorée, converge.

Racine $p$-ième d'un réel $a \ge 0$

Pour $a \ge 0$ et $p \in \mathbb{N}^*$, l'unique réel $b \ge 0$ tel que $b^p = a$, noté $b = \sqrt[p]{a}$.

Discriminant d'un polynôme du second degré

Pour un polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$, la quantité $\Delta = b^2 - 4ac$ qui détermine l'existence et le nombre de racines réelles.

Fonction logarithme ($\ln$)

Fonction de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ strictement croissante, réciproque de la fonction exponentielle, vérifiant $\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$ pour tous $x, y > 0$.

Fonction exponentielle ($\exp$)

Application bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}_+^*$, strictement croissante, réciproque de la fonction logarithme, vérifiant $\exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$ et $\exp'(x) = \exp(x)$.

Nombre Neper ($e$)

Nombre réel strictement positif défini par $e = \exp(1)$.