Applications des dérivées I

Explique le théorème de valeur intermédiaire

Une fonction continue doit passer par tous les points entre deux valeurs de f(x) = y. C'est à dire, entre f(a) et f(b), il existe une valeur c entre a et b. Mais pour une valeur de c entre a et b, la valeur de la fonction n'est pas toujours entre f(a) et f(b).

Example:

Il fait 3°𝐶 en se levant le matin à 7h et 4 heures plus tard il fait 12°𝐶. (Utilise le théorème de valeur intermédiaire)

Pour chaque valeur entre 3°𝐶 et 12°𝐶 il existe un temps entre 7h et 11h où cette température à été atteinte.

Exemple:

Y a-t-il un nombre qui est exactement 1 de moins que son cube?

insert photo (p.50)
Phrase: Puisque f(x) est continue sur l'intervalle de [0,01 ; 1] et étant donnée que f(0,01) ≤ f(0) ≤ f(1), selon IVT, il y a un nombre c, qui se trouve entre 0,01 et 1 qui donne une tangante horizontale.

Conditions pour utiliser le théorème de valeur intermédiaire pour les dérivées

Si 𝑎 et 𝑏 sont deux points sur un intervalle où 𝑓 est dérivable. 𝑓 ′ possède chaque valeur entre 𝑓 ′(𝑎) et 𝑓 ′(𝑏). Alors, toutes les valeurs de 𝑦 entre 𝑓′(𝑎) et 𝑓 ′(𝑏) sont atteintes dans l’intervalle [𝑎, 𝑏].

Formule du théorème de valeur intermédiaire

f(a) ≤ f(c) ≤ f(b)

Le théorème des accroissements finis en anglais

Mean value theorem

Définition du théorème des accroissements finis

Si une fonction 𝑦 = 𝑓(𝑥) est continue sur [𝑎, 𝑏] et dérivable sur (𝑎, 𝑏), alors il existe une tangente dans l'intervalle ayant la même pente que la sécante traversant a et b.

Explique les théorème des accroissements finis

Il existe une tangente dans l'intervalle ayant la même pente que la sécante traversant a et b

Comment démontrer qu'une fonction suit les conditions du théorème des accroissements finis

Vérifie si la fonction est continue et dérivable sur l'intervalle donné.

Sobriquet du théorème de l'accroissement finis et mean value theorem

TAF et MVT

Définition du théorème de valeurs extrêmes

Si 𝑓(𝑥) est une fonction non-constante continue sur un intervalle fermé [𝑎, 𝑏], alors cette fonction a un maximum et un minimum absolu sur cet intervalle.

Valeur extrême locale

Un minimum ou un maximum relatif à d'autres points à proximité

Valeur extrême absolue

Une minimum global relatif à tous les points de la fonction (ou dans l'intervalle)

Exemple:

Dessine une fonction avec un intervalle de [−4, 5] où il y a 3 minimums et 2
maximums..

(insert photo p.54)

Est-ce que un extrême absolue peut être local?

Oui, mais un extrême local ne peut pas être absolue

Exemple:

Nomme les maximums et minimums absolus. Dans la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥² sur l'intervalle [4, 6).

minimum: f(4)=16
maximum: DNE

Que représente la première dérivée

Indique la pente de la fonction; c'est à dire elle indique le taux de variation de la fonction orginal

Que représente 𝑓 ′ > 0

La fonction augmente à ce point

Que représente 𝑓 ′ < 0

La fonction diminue à ce point

Où est-ce qu'on retrouve un point critique?

- Un point où 𝑓 ′ = 0
- Un point où 𝑓 ′ n'existe pas

Point stationnaire

Un point où 𝑓 ′ = 0

Où est-ce qu'on retrouve un maximum locale?

Quand 𝑓 ′ (a) = 0 et que à la gauche de a la dérivée est positif et négatif à la droite.

Où est-ce qu'on retrouve un maximum locale?

Quand 𝑓 ′ (a) = 0 et que à la droite de a la dérivée est positif et négatif à la gauche.

C'est quoi un monotone croissante ou décroissante

Lorsque à la droite et à la gauche de a la dérivée possède le même signe.

Que représente la deuxième dérivée

Indique la concavité de la fonction originale

Que représente 𝑓 ′′ > 0

La fonction est concave vers le haut à ce point (la pente en entrain d'augmenter)

Que représente 𝑓 ′′ > 0

La fonction est concave vers le bas à ce point (la pente en entrain de diminuer)

Le test de la deuxième dérivée

Analyse la deuxième dérivée pour déterminer si un point critique est un maximum local, minimum local ou point d'inflexion

Si le point critique à 𝑓 ′′(c) > 0, un...

Il y a un minimum à ce point

Si le point critique à 𝑓 ′′(c) < 0

Il y a un maximum à ce point

Décris point d'inflexion

Un point où la fonction change de concavité

Si le point critique à 𝑓(c)′′ = 0 ou DNE

Il est possible qu'il y a un point d'inflexion à ce point

Qu'est ce qui garanti un point d'inflexion?

Il doit avoir un changement de concavité. C'est quand
𝑓 ′′(𝑐) < 0 (concave vers le bas) à gauche de
𝑐 et 𝑓 ′′(𝑐) > 0 (concave vers le haut) à droite de c.

Décris la linéarisation locale

C'est une approximation linéaire

L'équation de la linéairisation

𝐿(𝑥) = 𝑓 ′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

Erreur Absolue

| valeur real - valeur approximé |

Erreur Relatif

erreur absolue ÷ valeur real