Ecuaciones Fundamentales de Conservación y Balance para Medios Continuos

Conjunto de 30 tarjetas de estudio en formato de Pregunta y Respuesta sobre los conceptos, tensores, notación indicial y ecuaciones fundamentales de la mecánica de medios continuos.

¿Cuál es la longitud característica de las moléculas de agua y el tiempo de vibración promedio de sus átomos según los antecedentes del texto?

La longitud característica de las moléculas es del orden de $1 \times 10^{-10}\,\text{m}$ y el tiempo de vibración promedio de sus átomos es de $1 \times 10^{-15}\,\text{s}$.

¿Cuál es la finalidad de la mecánica de medios continuos según su definición?

Estudiar los esfuerzos que se manifiestan en el interior de sólidos, líquidos o gases; las deformaciones o los flujos de dichos materiales; y descubrir las relaciones mutuas entre los esfuerzos y las deformaciones o flujos mediante las ecuaciones constitutivas.

¿Qué concepto ilustra el corte de la presa presentado en la Figura 1.1?

Muestra la consideración de un pequeño cubo de agua dentro de una presa para analizar cómo, a nivel microscópico, la materia presenta discontinuidades entre moléculas, pero macroscópicamente se considera continua.

¿Qué significa que un material sea homogéneo en mecánica de medios continuos?

Significa que el material en estudio presenta propiedades idénticas en todos los puntos que lo constituyen.

¿Qué significa que un material sea isótropo?

Significa que el material presenta las mismas propiedades independientemente de la dirección en que se midan.

¿Cuál es el objeto de la notación indicial o convenio de sumación de Einstein?

Abreviar la escritura de sumatorias sobre vectores, matrices y tensores omitiendo los signos de sumatoria $\Sigma$ al dejar implícita la suma sobre subíndices repetidos.

¿Cómo se define formalmente la delta de Kronecker $\delta_{ij}$?

Es una función de dos variables enteras positivas que vale $1$ si $i = j$ y $0$ si $i \neq j$.

¿Cuál es la definición matemática del símbolo de permutación $e_{ijk}$?

Es una función de tres variables enteras positivas definida por $e_{ijk} = \frac{1}{2}(i - j)(j - k)(k - i)$, donde $i, j, k \in \{1, 2, 3\}$.

Según la Figura 1.4, ¿cómo se determinan los valores de permutación par e impar en el símbolo de permutación?

Una permutación par sigue el orden cíclico horario ($1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$) y toma el valor de $1$, mientras que una permutación impar sigue el sentido antihorario ($1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$) y toma el valor de $-1$.

¿Cuál es la expresión de la llamada identidad $e - \delta$ que relaciona el símbolo de permutación y la delta de Kronecker?

$$e_{ijk} e_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}$$

¿Cómo se define un tensor desde el punto de vista matemático y cuál es su principal diferencia con un escalar, vector o matriz en mecánica de medios continuos?

Un tensor generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de forma independiente del sistema de coordenadas. A diferencia de los tres primeros (que pueden ser solo arreglos matemáticos), el tensor siempre describe una propiedad física real.

¿Cómo se calcula el número de componentes de un tensor en un espacio tridimensional según su orden $n$?

Viene dado por la expresión $3^n$, donde $n$ es el orden del tensor.

¿Qué es un tensor de orden cero ($n = 0$) y cómo se representa?

Queda especificado por una sola componente ($3^0 = 1$), se conoce como escalar (como la densidad) y se representa por letras minúsculas del alfabeto griego (como $\alpha, \beta, \gamma$).

¿Cuántas componentes posee un tensor de primer orden ($n = 1$) y cómo se le conoce?

Posee $3^1 = 3$ componentes, se conoce como vector (como la velocidad) y se representa por letras minúsculas en negrita (como $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$).

¿Cuántas componentes posee un tensor de segundo orden ($n = 2$) en un espacio tridimensional?

Posee $3^2 = 9$ componentes y se representa con letras mayúsculas en negrita (como $\mathbf{T}, \mathbf{E}, \mathbf{L}$).

¿Cuántas componentes tienen los tensores de tercer y cuarto orden respectivamente?

Los tensores de tercer orden tienen $3^3 = 27$ componentes y los de cuarto orden tienen $3^4 = 81$ componentes.

¿En qué consiste la operación de doble producto contraído de dos tensores factores del mismo orden?

Consiste en hacer la sumatoria sobre los índices repetidos de ambos tensores (representado por $:$), produciendo como resultado un escalar (por ejemplo, $\lambda = \mathbf{T} : \mathbf{E} = T_{ij} E_{ij}$).

¿Cuál es la diferencia entre el producto externo (tensorial) y el producto interno de dos tensores?

El producto externo (simbolizado por $\otimes$) no tiene índices repetidos y da un tensor cuyo orden es la suma de los órdenes factores. El producto interno (simbolizado por $\cdot$) realiza contracción de índices y reduce el orden resultante en dos.

¿Cómo actúa el operador nabla en el gradiente de un campo escalar $\phi(x, y, z)$ y qué orden de cantidad produce?

Calcula las derivadas parciales respecto a cada coordenada espacial, elevando el grado de la función para transformar un campo escalar en un campo vectorial.

¿Cómo actúa la divergencia sobre un campo vectorial $\mathbf{v}$ y qué resultado produce?

Suma las derivadas parciales de cada componente respecto a su coordenada espacial ($\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$), disminuyendo el grado de la función para producir un campo escalar.

¿Qué establece el Teorema de la Divergencia de Gauss para un campo vectorial $\mathbf{v}$ en un volumen $V$ acotado por una superficie $S$?

Establece que $\int_S \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} \, dS = \int_V \nabla \cdot \mathbf{v} \, dV$, donde $\mathbf{n}$ es el vector normal unitario a la superficie.

¿Cuál es la diferencia fundamental entre la descripción Lagrangiana y la descripción Euleriana del movimiento?

La descripción Lagrangiana (o material) centra su atención en partículas específicas del medio continuo ($\mathbf{X}, t$), mientras que la descripción Euleriana (o espacial) se interesa por una región del espacio ocupado por el medio continuo ($\mathbf{x}, t$).

¿Cómo se expresa el vector desplazamiento $\mathbf{u}$ de una partícula?

Se expresa como la diferencia entre el vector de posición deformado y el vector de posición de referencia: $\mathbf{u} = \mathbf{x} - \mathbf{X}$.

¿Cómo se define la derivada material en coordenadas espaciales?

Mediante el operador $\frac{D(\bullet)}{Dt} = \frac{\partial(\bullet)}{\partial t} + \mathbf{v}(\mathbf{x}, t) \cdot \nabla(\bullet)$, compuesto por la derivada local y la derivada convectiva.

¿Cuándo se considera que una propiedad del medio continuo es estacionaria?

Cuando está expresada en configuración espacial y no es función del tiempo, lo cual implica que su derivada local es igual a cero ($\frac{\partial(\bullet)}{\partial t} = 0$).

¿Cómo se definen las componentes del tensor material gradiente de la deformación $F_{ij}$?

Se definen por $F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j}$.

¿Cómo se define el estiramiento $\lambda$ y cuál es su relación con el alargamiento unitario $\varepsilon$?

El estiramiento se define como $\lambda = \frac{ds}{dS}$ y se relaciona con el alargamiento unitario mediante $\lambda = 1 + \varepsilon$.

¿Cuál es la expresión de la deformación de Green-Lagrange $\varepsilon_{G-L}$ en función del estiramiento $\lambda$?

$$\varepsilon_{G-L} = \frac{l^2 - L^2}{2L^2} = \frac{1}{2}(\lambda^2 - 1)$$

¿Qué establece el principio de esfuerzos de Cauchy para el vector de tracción $\mathbf{t}$?

Establece que el vector de tracción es el límite del cociente de la fuerza de superficie sobre el diferencial de área cuando este tiende a cero: $\mathbf{t} = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{f}}{\Delta S} = \frac{d\mathbf{f}}{dS} = \mathbf{t}(P, \mathbf{n})$.

¿Cuál es la ecuación de equilibrio interno de Cauchy en notación vectorial/tensorial?

$\nabla \cdot \mathbf{T} + \rho \mathbf{b} = \mathbf{0}$, donde $\mathbf{T}$ es el tensor de esfuerzos, $\rho$ la densidad y $\mathbf{b}$ la fuerza másica.