meccanica - cinematica

metodo sperimentale

• esperimento: bisogna raccogliere dati e osservazioni per verificare una teoria e porsi in condizioni le più semplici possibili, eliminando le variabili estranee e controllando le condizioni iniziali (con l’intuito fisico).

• ipotesi: momento di induzione.

• legge fisica: momendo di deduzione. Bisogna dedurre dall’ipotesi la legge che governa ciò che si sta osservando, e trarre varie conseguenze.

• verifica: si compie attraverso vari esperimenti, che possono verificare l’intera legge o restringerne la validità, fino a smentirla del tutto.

leggi fisiche

Relazioni tra equazioni matematiche che servono a descrivere il comportamneto dei fenomeni naturali

equazione dimensionale

Un'espressione matematica che mette in relazione le dimensioni fisiche di una grandezza con altre grandezze fisiche, utile per analizzare e verificare la coerenza di leggi fisiche.

descrivere la posizione di un punto materiale

Retta orientata, sistema di assi cartesiano, levogiro e destrogiro

dimotra che lo spazio è omogeneo

= la scelta di origine è arbitraria…

dimostra che lo spazio è isotropo

= la scelta di direzione (verso degli assi) è arbitraria…

dimostra che il tempo è omogeneo

= la scelta di origine è arbitraria…

il tempo è

omogeneo

lo spazio è

isotropo, omogeneo e pari

regole epistemologiche di Newton

• non ammettere altre cause dei fenomeni oltre a quelle necessarie a spiegarli

• riferire alla stessa causa fenomeni equivalenti

• validità dell’induzione fino a prova contraria (ovvero nuovi fenomeni scoperti che la contraddicono)

dimostra la parità dello spazio

= uguaglianza per simmmetria/riflessione

descrivi le coordinate polari

Sistema di coordinate che utilizza la distanza da un punto fisso e un angolo per determinare la posizione di un punto in un piano.

descrivi le coordinate sferiche

Coordinate utilizzate in un sistema tridimensionale per descrivere la posizione di un punto attraverso un raggio e due angoli.

cos’è una trasformazione di simmetria?

Una trasformazione che mantiene le proprietà geometriche di un oggetto, come la sua forma e dimensione, includendo riflessioni, rotazioni e traslazioni.

dimostra che la traiettoria di un proiettile è una parabola

Si parte dall’equazione del moto lungo l’asse delle x, x(t) = x0 + v₀t.

Se x0 = 0, x(t) = v_0xt

ricavo t = x/v_0x

pongo a sistema le due equazioni del moto sui due assi cartesiani e sostituisco la t nell’equazione delle y: trovo che la traiettoria descritta è quella di una parabola.

dimostra l’angolo che comporta una gittata massima

ISTANTE 0

Si parte dall’equazione del moto lungo l’asse delle x, x(t) = x0 + v₀t.

Se x0 = 0, x(t) = v_0xt

ISTANTE FINALE

ricavo la t dall’equazione sull’asse delle y con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, con segno positivo. x_finale = v_0xt, per cui sostituisco la t e poi raccolgo v_0y. Se pongo l’altezza h = 0, quindi che il proiettile parte da terra, trovo che x_f = sin2a * v₀²/g
Per cui x_f è massima se 2a = pi/2 → a = pi/4

trova la formula di poisson dalle considerazioni sul moto circolare

Si parte da v = ω x r. Vedo v come dr/dt.

r = R u_r, per cui posso anche scrivere che du_r/dt = ω x u_r.

Generalizzando ad un vettore qualsiasi dA(t)/dt = d/dt (A(t) * u_A) = (derivata di un prodotto)

poi sostituisco du_A/dt con w x u_A, che moltiplicato per A(t) mi da

w_A x A(t).

deduci l’equazione del moto armonico dall’eq. di secondo grado dell’accelerazione e l’equazione del moto circolare.

• a = -ω²x, dove a è l'accelerazione, ω è la pulsazione e x è lo spostamento. Questa equazione descrive il moto di un oscillatore armonico semplice, in cui l'accelerazione è proporzionale e opposta allo spostamento dalla posizione di equilibrio.

  La vedo come un’equazione di secondo grado (d²x/dt² = -ω²x), che risolvo con la formula risolutiva x(t) = c₁sen(ωt + φ) + c2cos(ωt + φ), dove c1 e c2 sono costanti determine dalle condizioni iniziali.

• c1 = v₀/w

• c2 = x₀

  per cui x(t) = v₀/w sen(wt) + x₀ cos(wt)

• x(t) = A sen (wt + phi) = A senwt cos(phi) + A coswt sen(phi)

Quindi, mettendole a confronto, trovo che:

• x₀ = A sen(phi)

• v₀ = wA cos(phi)

• tg(phi) = w x₀ / v₀

• A = sqrt(x₀² + v₀²/w)

• x(t) = Rcoswt = Rsen(wt + pi/2)

• y(t) = Rsenwt

relazione velocità-posizione

inizia da v dv

= v dv/dt dt = a v dt = a dx

poi si integra tra 0 e t, per cui 1/2(v² - v0²) = a (x-x0)

v = sqrt(v0² + 2a(x-x0))

moto con attrito viscoso

a = -kv. Vedo a come dv/dt, poi riordino:

dv/v = -k dt

integro tra 0 e t:

ln v/v₀ = -kt

v/v₀ = e^-kt

v(t) = v₀ e^-kt

mentre x(t) = x₀ + integrale tra 0 e t di v₀ e^-kt dt = x₀ + v₀/k (1 - e^-kt)

per grandi t → x₀ + v₀/k

prodotto scalare

prodotto vettoriale