Trinôme du second degré

Flashcards de vocabulaire et notions clés sur le trinôme du second degré à partir du tableau récapitulatif.

Trinôme du second degré

Fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a \neq 0$.

Discriminant

Nombre réel noté $\Delta$, égal à $\Delta = b^2 - 4ac$, permettant de déterminer le nombre de solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$.

Solutions de $ax^2 + bx + c = 0$ pour $\Delta > 0$

Deux solutions distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Factorisation de $f(x)$ pour $\Delta > 0$

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes du trinôme.

Solution de $ax^2 + bx + c = 0$ pour $\Delta = 0$

Une seule solution (racine double) : $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Factorisation de $f(x)$ pour $\Delta = 0$

$f(x) = a(x - x_0)^2$, avec $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Solutions de $ax^2 + bx + c = 0$ pour $\Delta < 0$

Pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Factorisation de $f(x)$ pour $\Delta < 0$

Pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

Orientation de la parabole pour $a > 0$

La parabole est tournée « vers le haut ».

Orientation de la parabole pour $a < 0$

La parabole est tournée « vers le bas ».

Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ pour $\Delta > 0$

Du signe de $a$ à l'extérieur des racines ($x_1$ et $x_2$) et du signe de $-a$ entre les racines.

Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ pour $\Delta = 0$

Du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et nul en $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ pour $\Delta < 0$

Toujours du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Sommet de la parabole

Point d'abscisse $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et d'ordonnée $\beta = f(\alpha)$.

Variations du trinôme pour $a > 0$

La fonction est décroissante sur $\left(-\infty, \alpha\right]$ puis croissante sur $\left[\alpha, +\infty\right)$, avec un minimum $\beta = f(\alpha)$.

Variations du trinôme pour $a < 0$

La fonction est croissante sur $\left(-\infty, \alpha\right]$ puis décroissante sur $\left[\alpha, +\infty\right)$, avec un maximum $\beta = f(\alpha)$.