Analisi Matematica - Funzioni, Limiti, Continuità, Derivate e Integrali

Flashcard di vocabolario basate sulle dispense di matematica riguardanti lo studio di funzioni, limiti, continuità, derivate e integrali.

Funzione

Una legge che associa ad ogni elemento di un insieme chiamato dominio un solo elemento di un secondo insieme chiamato codominio.

Immagine

Sia $f$ una funzione che associa $x \text{ in } Dom(f)$ a $y \text{ in } Cod(f)$, allora $y$ è chiamata immagine di $x$. L'insieme immagine è l'insieme di tutti i risultati ottenuti facendo variare $x$ nel dominio.

Controimmagine

In una funzione $y = f(x)$, $x$ è definito controimmagine di $y$. Rappresenta tutti i numeri che, inseriti nella funzione, restituiscono quel preciso valore di uscita.

Funzione iniettiva

Una funzione in cui ogni elemento del codominio è immagine di al più un elemento del dominio. In parole semplici, a valori diversi di $x$ corrispondono valori diversi di $y$.

Funzione suriettiva

Una funzione in cui ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, ovvero nessuna casella del codominio rimane vuota.

Funzione biettiva

Una funzione che è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.

Funzione monotona

Una funzione che è sempre crescente o sempre decrescente per tutte le coppie di punti del proprio dominio. Una funzione monotona in senso stretto è sempre iniettiva e quindi invertibile.

Funzione periodica

Una funzione per cui esiste un valore $T$ tale che $f(x + T) = f(x)$. Esempi comuni sono $\text{sin}(x)$ e $\text{cos}(x)$ con periodo $2\text{π}$, e $\text{tan}(x)$ con periodo $\text{π}$.

Funzione pari

Una funzione simmetrica rispetto all'asse $y$ ($x = 0$), che soddisfa la condizione $f(x) = f(-x)$.

Funzione dispari

Una funzione simmetrica rispetto all'origine $O(0; 0)$, che soddisfa la condizione $f(x) = -f(-x)$.

Funzione inversa

Data una funzione $f$, è la funzione che associa ad ogni elemento del codominio l'elemento del dominio di cui è immagine. Richiede che la funzione originale sia biettiva.

Gerarchia degli infiniti

Classificazione della velocità di crescita delle funzioni per $x \rightarrow +\text{∞}$. La scala fondamentale, dalla più lenta alla più rapida, è: $\text{ln}(x) \text{ ≪ } x^n \text{ ≪ } e^x$.

Teorema del Confronto (dei due carabinieri)

Date tre funzioni $f(x), g(x), h(x)$ tali che $f(x) \text{≤} g(x) \text{≤} h(x)$, se $f(x)$ e $h(x)$ tendono allo stesso limite $L$, allora anche $g(x)$ deve tendere a $L$.

Funzione continua in un punto

Una funzione $f$ si dice continua in $x_0$ se il limite della funzione per $x$ che tende a $x_0$ coincide con il valore della funzione nel punto: $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$.

Discontinuità di salto (I specie)

Punto in cui i limiti destro e sinistro della funzione esistono finiti ma sono diversi tra loro: \text{lim}_{x \rightarrow x_0^-} f(x) \text{≠} \text{lim}_{x \rightarrow x_0^+} f(x).

Discontinuità infinita (II specie)

Punto in cui almeno uno dei due limiti (destro o sinistro) della funzione tende a $\text{+∞}$ o $\text{-∞}$.

Discontinuità eliminabile (III specie)

Punto in cui il limite $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x)$ esiste ed è finito ($L$), ma la funzione in $x_0$ non è definita oppure assume un valore diverso dal limite (f(x_0) \text{≠} L).

Asintoto orizzontale

Retta di equazione $y = L$ tale che $\text{lim}_{x \rightarrow \text{±∞}} f(x) = L$, con $L \text{ in } \text{R}$.

Asintoto obliquo

Retta di equazione $y = mx + q$ (con m \text{≠} 0) a cui la funzione si avvicina per $x \rightarrow \text{±∞}$. Si calcola $m = \text{lim}_{x \rightarrow \text{±∞}} \frac{f(x)}{x}$ e $q = \text{lim}_{x \rightarrow \text{±∞}} (f(x) - mx)$.

Teorema dei valori intermedi

Teorema che afferma che una funzione continua in un intervallo chiuso $[a, b]$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$.

Teorema di esistenza degli zeri

Se una funzione $f$ è continua in $[a, b]$ e assume valori di segno opposto agli estremi ($f(a) \text{·} f(b) < 0$), allora esiste almeno un punto $c \text{ in } (a, b)$ tale che $f(c) = 0$.

Punto stazionario

Un punto $x_0$ del dominio in cui la derivata prima della funzione si annulla ($f'(x_0) = 0$). Geometricamente, la retta tangente è orizzontale.

Punto angoloso

Punto di non derivabilità in cui i limiti destro e sinistro della derivata prima sono finiti ma diversi: \text{lim}_{x \rightarrow x_0^-} f'(x) \text{≠} \text{lim}_{x \rightarrow x_0^+} f'(x).

Cuspide

Punto di non derivabilità in cui i due limiti della derivata proma divergono a infinito con segno opposto (uno $+\text{∞}$ e l'altro $-\text{∞}$).

Funzione convessa

Una funzione con la concavità rivolta verso l'alto; si verifica analiticamente nei punti in cui la derivata seconda è positiva ($f''(x) > 0$).

Punto di flesso

Punto del grafico in cui la funzione cambia concavità (da concava a convessa o viceversa). In questo punto la derivata seconda cambia segno.

Primitiva

Una funzione $F(x)$ la cui derivata è uguale alla funzione data $f(x)$, ovvero $F'(x) = f(x)$. L'insieme di tutte le primitive è dato dall'integrale indefinito \text{∫} f(x)dx = F(x) + C.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema che stabilisce che la derivata della funzione integrale F(x) = \text{∫}_a^x f(t)dt coincide con la funzione integranda $f(x)$, dimostrando che la funzione integrale è una primitiva di $f$.