Algèbre : Équations du second degré

Cette série de flashcards couvre les définitions essentielles des polynômes du second degré, les différentes formes d'écriture, le calcul du discriminant et les règles de signe et de résolution d'équations associées.

Fonction polynôme du second degré

Une fonction $f$ définie sur $R$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres réels et où $a$ est non nul.

Forme développée

L'expression d'une fonction polynôme sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Forme canonique

L'expression d'une fonction polynôme sous la forme $f(x) = a(x - \text{α})^2 + \text{β}$, où la variable $x$ n'apparaît qu'une seule fois.

Forme factorisée

L'expression d'une fonction polynôme du second degré sous la forme $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Racine d'une fonction polynôme

Un nombre $x$ tel que $f(x) = 0$.

Discriminant ($\text{Δ}$)

Le nombre réel associé à un polynôme $ax^2 + bx + c$ calculé par la formule $\text{Δ} = b^2 - 4ac$.

Solutions de $P(x) = 0$ si $\text{Δ} < 0$

L'équation n'a pas de solution réelle.

Solution de $P(x) = 0$ si $\text{Δ} = 0$

L'équation a une seule solution : $x = \frac{-b}{2a}$.

Solutions de $P(x) = 0$ si $\text{Δ} > 0$

L'équation a deux solutions : $x_1 = \frac{-b - \text{√}(\text{Δ})}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \text{√}(\text{Δ})}{2a}$.

Factorisation de $P(x)$ si $\text{Δ} = 0$

L'expression peut s'écrire sous la forme $P(x) = a(x - x_0)^2$.

Factorisation de $P(x)$ si $\text{Δ} > 0$

L'expression peut s'écrire sous la forme $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Signe de $P(x)$ si $\text{Δ} < 0$

Le polynôme garde toujours le même signe, celui du coefficient $a$.

Signe de $P(x)$ si $\text{Δ} = 0$

Le polynôme est du signe de $a$ pour tout $x$ différent de la racine double $x_0$.

Règle du signe de $P(x)$ si $\text{Δ} > 0$

$P$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines ($x_1$ et $x_2$) et du signe opposé de $a$ entre les racines.