MatA

Reelle tal

Alle tal på tallinjen

Rationale tal

$\frac{a}{b}$hvor a og b er hele tal og  $b\ne0$

Naturlige tal

1, 2, 3, 4....

Hele tal/integers

0, ±1, ±2, ±3, ±4...

$$N_1+N_2+N_3+...N_{(n-1)}+N_n$$

$$\sum_{i=1}^{n} N_i$$

$$a^{\frac{p}{q}}$$

$$(\sqrt[q]{a})^p$$

$$a^{\frac{1}{q}}$$

$$\sqrt[q]{a}$$

$$a^{-n}$$

$$\frac{1}{a^{n}}$$

$$a^{-\frac{p}{q}}$$

$$\frac{1}{(\sqrt[q]{a})^p}$$

$$a^r*a^s$$

$$a^{r+s}$$

$$a^0$$

1

$$\sum_{i=1}^{n}ca_i$$

$$c\sum_{i=1}^{n}a_i$$

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)$$

$$\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}b_i$$

$$\sqrt{ab}=(ab)^{\frac{1}{2}}$$

$$a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\sqrt{b}$$

$$\sqrt{\frac{a}{b}}=(\frac{a}{b})^{\frac{1}{2}}$$

$$a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$

$$\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$$

$$\frac{a}{b}*\frac{c}{d}$$

$$\frac{ac}{bd}$$

$$\frac{a^r}{b^s}$$

$$a^rb^{-s}$$

$$\frac{a*c}{b*c}$$

$$\frac{a}{b}$$

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$$

$$\frac{a}{b}*\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$$

$$(a^r)^s$$

$$a^{r*s}$$

$$(a-b)^2$$

$$a^2+b^2-2ab$$

$$(a+b)^2$$

$$a^2+b^2+2ab$$

$$(a+b)(a-b)$$

$$a^2-b^2$$

$$(a*b)^r$$

$$a^r*b^r$$

$$(\frac{a}{b})^r$$

$$a^rb^{-r}$$

Mængde

Samling af objekter man vil kigge på som helhed

Element

Objekter der tilhører mængde

$$x \in s$$

x er et element af s

$$A \subseteq B$$

A er en delmængde af B - hvert element af A tilhører også B

$$A \cup B$$

Foreningsmængde

Alle elementer der tilhører A eller B

$$A \cap B$$

Fællesmængde

Alle elementer der tilhører A og B

A \ B

Mængdedifferens

Alle elementer der tilhører A men ikke B

u

Universalmængde

$$A^c$$

komplementærmængde af A i u

u \ A

Udsagn

Påstande der enten er sande eller falske

Åbent udsagn

Påstand der hverken er sand eller falsk indtil værdi vælges for variabel

$$P \rightarrow Q$$

P medfører Q

$$P \leftrightarrow Q$$

P medfører Q og Q medfører P

$$\rightarrow$$

Implikationspil

$$\leftrightarrow$$

Bi-implikation

Kontrapositive princip

Hvis $P \rightarrow Q$

Så $Ikke Q\rightarrow Ikke P$

Tilstrækkelig betingelse $P \rightarrow Q$

P er en tilstrækkelig betingelse for Q

Nødvendig betingelse $P \rightarrow Q$

Q er en nødvendig betingelse for P

Tilstrækkelig/nødvendig betingelse $P \leftrightarrow Q$

P er en tilstrækkelig og nødvendig betingelse for Q og omvendt

Direkte bevis

Antag at P er sand, så må Q også være sand

Bevis ved kontraposition

Vis at implikationen $Ikke Q\rightarrow Ikke P$ som er ekvivalænt med $P \rightarrow Q$

Modstridsbevis

Antag at P er sand, men at Q ikke er sand. Vis at dette fører til modstrid

(a > 0 og b > 0)

(a + b > 0 og a * b > 0)

(a > b og b ≥ c)

a > c

(a > b og c > 0)

ac > bc

(a > b og c < 0)

ac < bc

(a > b og c > d)

a + c > b + d

(a,b)

Åbne interval fra a til b a < x < b

[a,b]

Lukkede interval fra a til b a ≤ x ≤ b

Indre punkter i interval

Alle de punkter i intervallet der ikke er endepunkter

Absolut værdi af a

|a| = {a hvis a ≥ 0 og -a hvis a < 0}

Kvadratisk faktorisering

Hvis $x_1$ og $x_2$ er løsninger

$$ax²+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$$

Hvornår er det nødvendigt at “gøre prøve” på ligninsløsninger

Når ikke alle “skridt” i udledningen er bi-implikationer

$$D_f$$

Definitionsmængde for f

$$V_f$$

Værdimængde for f

(weakly) voksende funktion

$$x_1>x_2 → f(x_1)≥f(x_2)$$

Strengt voksende funktion

$$x_1>x_2 → f(x_1)>f(x_2)$$

$$y=f(x)+c$$

Graf forskydes lodret op med c hvis c>0 og lodret ned med c hvis c<0

$$y=f(x+c)$$

Graf forskydes til venstre med c hvis c>0 og til højre med c hvis c<0

$$y=cf(x)$$

Graf udstrækkes lodret hvis c>1 og mindskes hvis 0<c<1 og spejles på x-aksen og udstrækkes/mindskes hvis c<0

$$y=f(-x)$$

Graf for f(x) spejles på y-aksen

Sum af f og g

$$h(x)=f(x)+g(x)$$

Differens mellem f og g

$$l(x)=f(x)-g(x)$$

Produkt at f og g

$$h(x)=f(x)*g(x)$$

Quotient of f og g

$$l(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$

Sammensatte funktioner $f \circ g$

$$f(g(x))$$

Lige funktion

Hvis $f(-x) = f(x)$ for alle $D_f$ er grafen symmetrisk om y-aksen

Ulige funktion

Hvis $f(-x)=-f(x)$ for alle $D_f$ er grafen uændret hvis den roterer 180 grader om nulpunktet

Symmetrisk omkring a

Hvis $f(a+x)=f(a-x)$ er grafen symmetrisk omkring linje x=a

Injektiv (one-to-one) funktion

f er injektiv hvis der for alle $x_1,x_2 \in A$ gælder $x_1≠x_2 → f(x_1)≠f(x_2)$

Invers funktion

Hvis f er funktion med $D_f=A og R_f=B$ hvis og kun hvis den er injektiv, eksisterer en invers funktion med $D=B og R=A$ $y=f(x) → f^{-1}(y)=x$

Surjektiv

$R_f=B$ er f surjektiv

Injektiv + surjektiv

Bijektiv

Andengradspolynomie

$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$

Generel form for polynomie

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…a_1x+a_0$$

Polynomie som sum

$$P\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$$

Faktorisering af polynomier

Lad P(x) og Q(x) være polynomier så graden af P er større end graden af Q, da findes polynomier q(x) og r(x) så $P(x)=q(x)Q(x)+r(x)$ og graden af r er mindre end graden af Q

a er rod i polynomiet P dvs $P(a)=0$

Polynomiet $Q(x)=(x-a)$ går op i P dvs. $P(x)=q(x)(x-a)$

$$r(x)=N(x)$$

Q går op i P

Rational funtion

$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ hvor P(x) og Q(x) er polynomier

Ægte rational funktion

Hvis graden af P er mindre end graden af Q

Uægte rational funktion

Hvis graden af P er større end graden af Q

Potensfunktion

$f(x)=Ax^r$ hvor $A,r \in \mathbb{R}$ er konstanter og x>0

Eksponentialfunktion

$f(x)=Aa^x$ hvor basen a er faktoren f ændrer sig med når x stiger med 1

Den naturlige eksponentialfunktion

$$f(x)=e^x$$

Den naturlige logaritmefunktion

$$f(x)=ln(x)$$

$$ln(xy)$$

$$ln(x) + ln(y)$$

$$ln(\frac{x}{y})$$

$$ln(x)-ln(y)$$

$$ln(x^p)$$

$$p*ln(x)$$

$$ln(e^x)$$

$$e^{ln(x)}=x$$

$log_ax$ proportionalitet med $ln(x)$

$$log_ax=\frac{ln(x)}{ln(a)}$$