Kõrgem matemaatika I EKSAM

studied byStudied by 148 people
0.0(0)
get a hint
hint

Ratsionaalarvud

1 / 49

Tags and Description

Calculus

50 Terms

1

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve x, mis on esitatavad kujul x = p/q , kus p ∈ Z ja q ∈ N. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q.

New cards
2

Irratsionaalarvud

Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Tähistatakse sümboliga I.

New cards
3

Reaalarvu absoluutväärtus

knowt flashcard image
New cards
4

Absoluutväärtuse tähtsamad omadused

knowt flashcard image
New cards
5

Newtoni binoomvalem

knowt flashcard image
New cards
6

Ülalt tõkestatud hulk

Olgu X ⊂ R. Öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kui leidub arv M ∈ R selliselt, et x ≤ M iga x ∈ X korral; arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks

New cards
7

Alt tõkestatud hulk

Olgu X ⊂ R. Öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kui leidub arv m ∈ R selliselt, et x ≥ m iga x ∈ X korral; arvu m nimetatakse sel juhul hulga X alumiseks tõkkeks.

New cards
8

Tõkestatud hulk

Olgu X ⊂ R. Öeldakse, et hulk X on tõkestatud, kui ta on nii ülalt kui ka alt tõkestatud, s.t. leiduvad arvud m, M ∈ R selliselt, et m ≤ x ≤ M iga x ∈ X korral.

New cards
9

Piisav ja tarvilik tingimus hulga tõkestatuseks

Hulk X ⊂ R on tõkestatud parajasti siis, kui leidub arv L ∈ R selliselt, et |x| ≤ L iga x ∈ X korral.

New cards
10

Hulga ülemine raja

Olgu hulk X ⊂ R ülalt tõkestatud. Hulga X vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sümboliga sup X

New cards
11

Hulga alumine raja

Olgu hulk X ⊂ R alt tõkestatud. Hulga X suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse sümboliga inf X

New cards
12

Pidevuse aksioom

(a) Igal mittetühjal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (b) Igal mittetühjal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.

New cards
13

Piisav ja tarvilik tingimus selleks, et arv M oleks hulga ülemiseks rajaks.

Olgu X ⊂ R ning olgu M ∈ R. Arv M on hulga X ülemine raja parajasti siis, kui kehtivad järgmised kaks tingimust: 1◦ x ≤ M iga x ∈ X korral; 2◦ mis tahes reaalarvu ε > 0 korral leidub xε ∈ X selliselt, et xε > M − ε.

New cards
14

Piisav ja tarvilik tingimus selleks, et arv M oleks hulga alumiseks rajaks

Olgu X ⊂ R ning olgu m ∈ R. Arv m on hulga X alumine raja parajasti siis, kui kehtivad järgmised kaks tingimust: 1◦ x ≥ m iga x ∈ X korral; 2◦ mis tahes reaalarvu ε > 0 korral leidub xε ∈ X selliselt, et xε < m + ε.

New cards
15

Hulga suurim element

Olgu X ⊂ R. Kui element u ∈ X on selline, et x ≤ u iga x ∈ X korral, siis elementi u nimetatakse hulga X suurimaks elemendiks ja tähistatakse sümboliga max X

New cards
16

Hulga vähim element

Olgu X ⊂ R. Kui element v ∈ X on selline, et x ≥ v iga x ∈ X korral, siis elementi v nimetatakse hulga X vähimaks elemendiks ja tähistatakse sümboliga min X

New cards
17

Suurima ja vähima elemendi ühesus

Mis tahes reaalarvude hulgal saab olla ülimalt üks suurim element ja ülimalt üks vähim element.

New cards
18

Ülemise ja alumise raja ühesus

(a) Ülalt tõkestatud mittetühjal reaalarvude hulgal on täpselt üks ülemine raja. (b) Alt tõkestatud mittetühjal reaalarvude hulgal on täpselt üks alumine raja.

New cards
19

Hulga suurima elemendi ja ülemise raja vaheline seos

Kui mingis reaalarvude hulgas leidub suurim element, siis see suurim element on selle hulga ülemine raja.

New cards
20

Hulga vähima elemendi ja alumise raja vaheline seos

Kui mingis reaalarvude hulgas leidub vähim element, siis see vähim element on selle hulga alumine raja.

New cards
21

Hulga αX ülemine raja juhul α ⩾ 0

Olgu X ülalt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≥ 0, siis hulk αX on ülalt tõkestatud, kusjuures sup αX = α sup X.

New cards
22

Hulga αX alumine raja juhul α ⩽ 0

Olgu X ülalt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≤ 0, siis hulk αX on alt tõkestatud, kusjuures inf αX = α sup X.

New cards
23

Hulga αX alumine raja juhul α ⩾ 0

Olgu X alt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≥ 0, siis hulk αX on alt tõkestatud, kusjuures inf αX = α inf X

New cards
24

Hulga αX ülemine raja juhul α ⩽ 0

Olgu X alt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≤ 0, siis hulk αX on ülalt tõkestatud, kusjuures sup αX = α inf X

New cards
25

Kahe hulga summa ülemine raja

Olgu X ja Y ülalt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühjad alamhulgad, siis hulk X + Y on ülalt tõkestatud, kusjuures sup(X + Y ) = sup X + sup Y

New cards
26

Kahe hulga summa alumine raja

Olgu X ja Y alt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühjad alamhulgad, siis hulk X + Y on alt tõkestatud, kusjuures inf(X + Y ) = inf X + inf Y

New cards
27

Kahe hulga vahe ülemine raja

Olgu X ja Y reaalarvude hulga R mittetühjad alamhulgad. Olgu hulk X ülalt tõkestatud ja hulk Y alt tõkestatud. Siis hulk X − Y on ülalt tõkestatud, kusjuures sup(X − Y ) = sup X − inf Y.

New cards
28

Kahe hulga vahe alumine raja

Olgu X ja Y reaalarvude hulga R mittetühjad alamhulgad. Olgu hulk X alt tõkestatud ja hulk Y ülalt tõkestatud. Siis hulk X − Y on alt tõkestatud, kusjuures inf(X − Y ) = inf X − sup Y.

New cards
29

sup X ja inf Y vaheline seos, kui iga x ∈ X, y ∈ Y korral x ⩽ y

Olgu X ja Y reaalarvude hulga R mittetühjad alamhulgad. Kehtigu mis tahes x ∈ X ja y ∈ Y korral võrratus x ≤ y, siis hulk X on ülalt tõkestatud ja hulk Y on alt tõkestatud, kusjuures sup X ≤ inf Y

New cards
30

Arvjada

Kui igale naturaalarvule n on seatud vastavusse kindel reaalarv xn, siis öeldakse, et on antud arvjada (ehk lihtsalt jada)

New cards
31

Ülalt tõkestatud jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on ülalt tõkestatud, kui tema liikmete hulk on ülalt tõkestatud, s.t. leidub arv M ∈ R nii, et xn ≤ M iga n ∈ N korral

New cards
32

Alt tõkestatud jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on alt tõkestatud, kui tema liikmete hulk on alt tõkestatud, s.t. leidub arv m ∈ R nii, et xn ≥ m iga n ∈ N korral.

New cards
33

Tõkestatud jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on tõkestatud, kui tema liikmete hulk on tõkestatud, s.t. leiduvad arvud M, m ∈ R nii, et m ≤ xn ≤ M iga n ∈ N korral.

New cards
34

Jada piirväärtus

Öeldakse, et arv a ∈ R on jada (xn) piirväärtus ja kirjutatakse lim n→∞ xn = a kui iga reaalarvu ε > 0 korral leidub indeks N ∈ N selliselt, et n ∈ N, n ≥ N =⇒ |xn − a| < ε.

New cards
35

Arvu ε-ümbrus

Olgu a ∈ R ning olgu ε ∈ R, ε > 0. Vahemikku (a − ε, a + ε) nimetatakse arvu a (või punkti a) ε-ümbruseks

New cards
36

Koonduv jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on koonduv, kui tal on olemas piirväärtus a ∈ R. Sel juhul öeldakse ka, et jada (xn) koondub arvuks a.

New cards
37

Hajuv jada

Öeldakse, et arvjada on hajuv, kui ta pole koonduv.

New cards
38

Koonduva jada piirväärtuse ühesus

Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud.

New cards
39

Koonduva jada tõkestatus

Koonduv jada on tõkestatud.

New cards
40

Hääbuv jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on hääbuv (ehk lõpmata väike), kui lim xn = 0

New cards
41

Tõkestatud ja hääbuva jada korrutise piirväärtus

Tõkestatud jada ja hääbuva jada korrutis on hääbuv jada.

New cards
42

Koonduvate jadade omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega

knowt flashcard image
New cards
43

Jada piirväärtuse monotoonsus

knowt flashcard image
New cards
44

Jada (xn) piirväärtus juhul kui mingist indeksist xn ⩽ b (xn ⩾ b)

knowt flashcard image
New cards
45

Jada piirväärtuse sändvitš-teoreem

knowt flashcard image
New cards
46

Jadade ( n√a) (a > 0) ja ( n√n) piirväärtus

knowt flashcard image
New cards
47

Jada (an) piirväärtus

knowt flashcard image
New cards
48

Jada ((1 + 1/n) astmes n) piirväärtus

knowt flashcard image
New cards
49

Hulga kuhjumispunkt

knowt flashcard image
New cards
50

Funktsiooni piirväärtus lim f(x) = A, kus a, A € R U (-inf, +inf)

New cards

Explore top notes

note Note
studied byStudied by 3 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 18 people
Updated ... ago
4.0 Stars(4)
note Note
studied byStudied by 17 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 5 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 13 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 2916 people
Updated ... ago
4.7 Stars(10)
note Note
studied byStudied by 11 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
note Note
studied byStudied by 412 people
Updated ... ago
5.0 Stars(6)

Explore top flashcards

flashcards Flashcard34 terms
studied byStudied by 6 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard54 terms
studied byStudied by 7 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard89 terms
studied byStudied by 33 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard32 terms
studied byStudied by 10 people
Updated ... ago
4.0 Stars(2)
flashcards Flashcard43 terms
studied byStudied by 52 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard71 terms
studied byStudied by 14 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard72 terms
studied byStudied by 50 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)
flashcards Flashcard45 terms
studied byStudied by 3 people
Updated ... ago
5.0 Stars(1)