les nombres complexes

Comment on résout \frac{-15^3}{27}

=\frac{-\left(3\cdot5\right)^3}{3^3}

=-5^3

Combien valent i et i^2 ?

i=\sqrt{-1}

i^2=-1

Comment calcule-t’on une puissance cubique ?

\left(a-x)\right.^3=(a-x)^2(a-x)

Qu’est-ce que Z et comment s’écrit-il sous forme algébrique?

Les nombres complexes s’écrivent Z

Sous forme algébrique on les note :

a+ib

Avec a un nombre réel et ib un nombre imaginaire

Si Z_1 =2 que valent a et b ?

Z_1 = 2 + 0i

a=2

b=0

Qu’est ce qu’un imaginaire pur ?

Un Z pour lequel a=0

Donc i est un imaginaire pur

Partie réelle ?

Re(Z) = a

Partie imaginaire ?

Im(Z) = b

Quels sont les trois types de Z (nombres complexes) ?

• Les nombres réels \in\mathbb{R} , b=0

• Les imaginaires purs \in\mathbb{iR} , a=0

• Les nombres complexes quelconques (le reste)

Quel type de complexe est 3+\sqrt5 ?

Un réel

Quel type de complexe est i/2 ?

Un imaginaire pur (1/2*i)

Quel type de complexe est \frac{4-2i}{2} ?

Un complexe quelconque

Quel est l’ensemble des nombres complexes quelconques ?

\in C

\mathbb{R}\subset ?

\mathbb{R}\subset C

z=z^{\prime} ssi

Im(Z) = Im(Z’)

Re(Z) = Re(Z’)

-Z =

-a-ib

L’inverse de Z = ?

\frac{1}{a+ib}

Le conjugué de Z (\overline{z}) = ?

a-ib

Comment trouve t on la valeur d’une puissance de i ? Par exemple i^9 ?

On divise la puissance par 4 et on regarde le reste

Reste =

0 → i^n =1

1 → i^n = i

2 → i^n = -1

3 → i^n = -i

i^9=i^{\left(2\cdot4+1\right)}=i

Comment trouver Z quand on a une égalité ?

• Quand y a que Z et d’autres trucs ?

• Quand y a aussi \overline{z} ?

• soit équation Re(z) et Im(z) soit simplement on isole z

• On écrit z et \overline{z} sous leurs formes algébriques et on fait une équation Re(z) et Im(z)

Quand on a \frac{x}{z} on fait \frac{x\cdot\overline{z}}{z\cdot\overline{z}}

z\cdot\overline{z} = ?

(a+ib)(a-ib) = a² - (ib)²

= a² - i²•b²

= a² + b² \in R+

Quelles sont les deux méthodes de résolution d’une équation à deux inconnues?

• Par substitution : décrire une inconnue selon l’autre et faire les équations selon UNE SEULE inconnue

• Par combinaison linéaire : soustraire ou additionner l’une à l’autre les deux équations pour que ca s’annule (on peut multiplier une des équations par un coeff)

Z= 4+5i

\overline{z} = ?

4-5i

Z + \overline{z} = ?

Les complexes s’annulent

2Re(z)

Z - \overline{z} = ?

Les réels s’annulent

2Im(z)

L’opposé du conjugué est la même chose que ?

Le conjugué de l’opposé

z\cdot\overline{z} = ?

a² + b²

Si z+\overline{z} = 0 alors ?

Re(z) = 0

Si z-\overline{z} = 0 alors ?

Im(z) = 0

Comment on présente quand dans un système on veut modifier une seule équation ?

dans une équation où on a une égalité nulle, premier réflexe ?

On factorise ! Un des facteurs doit être nul !

Quand on a (35+22i)/13 on fait comment pour écrire la forme algébrique ?

On “sépare” : 35/13 + (22/13)i

Comment note-t-on les complexes quelconques ?

∈ ℂ ∖ (ℝ ∩ iℝ)

Tu relis ton exo : tu vérifies quoi ?

• pas d’erreur de signe

• Résultat final bien simplifié

simplifier −2⁄4 − 2·i·(√3⁄4)

−½ − (√3⁄2)·i

1/i = ?

-i

Déterminer si un nombre Z est réel complexe quelconque ou imaginaire pur selon une variable ?

• Définir l’expression selon partie réelle et imaginaire (sous la forme algébrique)

• Pour que Z soit réel il faut que Im(Z)=0

Pour que Z soit un imaginaire pur il faut que Re(Z) = 0

Pour que Z soit un complexe quelconque il faut que rien = 0

• 2 équations

Comment écrire simplement que x=4 y=12 et z=10 ?

(x;y;z) = (4;12;10)

Comment écrit-on que deux nombres appartiennent à un ensemble (exemple : a et b dans R)

a, b ∈ R

Que faut-il bien faire en début de démonstration quand on utilise nos propres éléments ?

On les présente. Par exemple on écrit pas juste Z = a+ib

MAIS 

Si Z ∈ C,

Il existe a,b ∈ R tels que Z = a+ib

Comment on résout les exos du type : montrer que Z et Z barre sont trucs, ou montrer que -Z appartient à truc ssi Z barre jsp quoi…

on fait

• d’une part (on écrit pas le d’une part on fait juste un symbole) première expression en utilisant a+ib

• d’autre part 2e expression en utilisant a+ib

Qu’est-ce qu’on utilise dès qu’on veut démontrer qu’un truc est vrai pour tout n ?

Un raisonnement par récurrence

Ca veut dire quoi ssi ?

c’est quoi ne fait pas une équation mais juste on suit un raisonnement : c’est possible uniquement si

Résolution d’une équation du 2nd degré, quand Δ < 0 on en déduit..?

Aucune solution réelle

Mais deux solutions complexes

Trouver les deux solutions imaginaires d’une équation du 2nd degré avec Δ < 0 ?

On fait bien la formule de base x = (-b±√Δ)/2a

Mais on utilise i z= (-b±i√|Δ|)/2a

Z₂ est toujours

Le conjugué de Z₁

Z₂=Z₁ barre

Résolution d’une équation du 2nd degré ?

• factoriser (surtt quand c’est uniquement un produit par z)

• utiliser Δ

• parfois on peut juste résoudre avec z≠0 et z=0

Le réflexe pour résoudre une équation de la forme :

(🧡±💛)/💚=🩵

• multiplier des deux côtés : 🧡±💛=🩵*💚

• Après tu as le droit de faire 🧡/💚±💛/💚=🩵Mais ATTENTION ! Δ que en dernier recours

Comment rédiger la règle du produit nul ?

• On écrit sous la forme claire de deux facteurs ( )*( )=0

ssi : ( ) = 0 ou ( ) = 0