Polynômes et fractions rationnelles

Flashcards de révision sur le chapitre Polynômes et Fractions Rationnelles (Licence 1 - Université Joseph Fourier).

Qu'est-ce qu'une suite à support fini d'éléments d'un groupe $(A, +)$ ?

C'est une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pour laquelle le nombre d'indices $n$ tels que $a_n \neq 0$ est fini (il existe $N$ tel que $a_n \neq 0 \implies n \le N$).

Dans l'anneau des polynômes $A[X]$, comment est définie la multiplication de deux suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ?

Le produit est $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.

Quelle est la définition formelle de l'indéterminée $X$ dans l'anneau des polynômes $B$ ?

C'est la suite $(0, 1, 0, 0, \dots)$ dont tous les termes sont nuls sauf celui d'indice 1 qui vaut 1.

Par convention, quel est le degré du polynôme nul ?

Le degré du polynôme nul est le symbole $-\infty$.

Quelle est la convention pour le coefficient dominant du polynôme nul ?

Le coefficient dominant du polynôme nul est $0$.

Quand dit-on qu'un polynôme est unitaire ?

Un polynôme est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à $1$.

Quelle est la relation entre le degré de la somme $P + Q$ et les degrés des polynômes $P$ et $Q$ ?

$\text{deg}(P + Q) \le \max(\text{deg}(P), \text{deg}(Q))$.

Si $A$ est un anneau commutatif intègre, quelle est la formule pour le degré du produit $PQ$ ?

$\text{deg}(PQ) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q)$.

Quelle est la définition du polynôme dérivé $P'$ pour un polynôme non nul $P = a_d X^d + a_{d-1} X^{d-1} + \dots + a_1 X + a_0$ ?

$P' = d a_d X^{d-1} + (d-1) a_{d-1} X^{d-2} + \dots + a_1$.

Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel $K_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ ?

La dimension de $K_n[X]$ est $n + 1$.

Quelle est la base canonique du sous-espace vectoriel $K_n[X]$ ?

C'est la famille $(1, X, \dots, X^n)$.

Que dit le Lemme 1 concernant une famille $(P_0, P_1, \dots, P_n)$ de polynômes vérifiant $0 \le \text{deg}(P_0) < \text{deg}(P_1) < \dots < \text{deg}(P_n)$ ?

La famille $(P_0, P_1, \dots, P_n)$ est une famille libre.

Énoncer le théorème de la division euclidienne dans $K[X]$ pour $A$ et $B \neq 0$.

Il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes vérifiant $A = QB + R$ et $\text{deg}(R) < \text{deg}(B)$.

Comment est défini l'unique $\text{pgcd}(A, B)$ de deux polynômes $A$ et $B$ dans $K[X]$ ?

C'est l'unique polynôme unitaire $D$ tel que tout polynôme $P$ divise $A$ et $B$ si et seulement si $P$ divise $D$.

Quelle est l'identité de Bézout pour deux polynômes $A$ et $B$ de $K[X]$ de pgcd $D$ ?

Il existe deux polynômes $S$ et $T$ dans $K[X]$ tels que $D = SA + TB$.

Quelle est la définition d'un polynôme irréductible dans $K[X]$ ?

Un polynôme $P$ dans $K[X]$ est irréductible lorsqu'il possède exactement deux diviseurs unitaires.

Quels sont les deux seuls diviseurs unitaires d'un polynôme irréductible $P$ dans $K[X]$ ?

Ce sont le polynôme $1$ et le polynôme $\frac{P}{\text{coeff\_dom}(P)}$.

Énoncer le Lemme de Gauss pour trois polynômes $A$, $B$ et $C$ dans $K[X]$.

Si $A$ divise $BC$ et est premier avec $C$, alors $A$ divise $B$.

Quelle est la forme générale de la décomposition d'un polynôme non nul $P$ en facteurs irréductibles dans $K[X]$ ?

$P = \lambda P_1^{\alpha_1} P_2^{\alpha_2} \dots P_k^{\alpha_k}$, où $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$, les $P_i$ sont des polynômes irréductibles unitaires distincts et $\alpha_i \in \mathbb{N}^*$.

À quelle condition portant sur le polynôme $X - a$ l'élément $a$ est-il une racine du polynôme $P$ ?

$a$ est une racine de $P$ si et seulement si $X - a$ divise $P$.

Combien de racines au plus possède un polynôme non nul de degré $n$ sur un anneau commutatif intègre ?

Il possède au plus $n$ racines.

À quelle condition simultanée sur $P$ et $P'$ un élément $a$ est-il racine au moins double de $P$ ?

$a$ est racine au moins double de $P$ si et seulement s'il est simultanément racine de $P$ et de son polynôme dérivé $P'$.

Quand dit-on qu'une application $f: A \to A$ est polynomiale ?

Lorsqu'il existe un entier $n \ge 0$ et un $(n+1)$-uplet $(a_0, \dots, a_n)$ d'éléments de $A$ tels que pour tout $x \in A$, $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$.

Pourquoi l'application $U$ associant à un polynôme sa fonction polynomiale est-elle injective sur un corps infini $K$ ?

Parce que tout polynôme dans le noyau de $U$ admet une infinité de racines, ce qui implique qu'il est le polynôme nul.

Énoncer la formule de Taylor pour un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré inférieur ou égal à $n$ en un point $a \in \mathbb{C}$.

$P = P(a) + P'(a)(X - a) + \frac{P''(a)}{2!}(X - a)^2 + \dots + \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X - a)^n$.

Quelle est la condition sur les dérivées successives de $P$ en $a$ pour que $a$ soit une racine d'ordre au moins $k + 1$ ?

$P(a) = P'(a) = \dots = P^{(k)}(a) = 0$.

Que stipule le théorème de d'Alembert-Gauss ?

Tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ non constant admet au moins une racine complexe.

Quels sont les polynômes irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$ ?

Ce sont exactement les polynômes du premier degré.

Qu'est-ce qu'un polynôme scindé ?

C'est un polynôme qui peut s'écrire sous forme de produit de facteurs du premier degré.

Quels sont les polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ ?

Ce sont les polynômes du premier degré et les polynômes du deuxième degré à discriminant strictement négatif ($\Delta < 0$).

Sur quelle relation d'équivalence $\mathcal{R}$ est construit le corps des fractions rationnelles $K(X)$ ?

$(P_1, Q_1) \mathcal{R} (P_2, Q_2) \iff P_1 Q_2 = P_2 Q_1$.

Quel est le polynôme $R$ appelé partie entière dans la décomposition de $P/Q$ lorsque $\text{deg}(P) \ge \text{deg}(Q)$ ?

C'est le quotient $D$ de la division euclidienne de $P$ par $Q$.

Comment est définie la suite des polynômes de Chebyshev $C_n$ par récurrence pour $n \ge 2$ ?

$C_0 = 1$, $C_1 = X$, et $C_n = 2XC_{n-1} - C_{n-2}$.

Quelle relation trigonométrique lie le polynôme de Chebyshev $C_n$ à la fonction cosinus ?

$\cos(n\theta) = C_n(\cos(\theta))$.

Quelle équation différentielle satisfait le $n$-ième polynôme de Chebyshev $C_n$ ?

$(1 - X^2) C_n'' - X C_n' + n^2 C_n = 0$.

Comment sont définis les polynômes de Legendre $L_n$ à partir du polynôme $W_n = (X^2 - 1)^n$ ?

$L_n = \frac{1}{2^n n!} W_n^{(n)}$.

Quel est le degré et le coefficient dominant du polynôme $W_n = (X^2 - 1)^n$ ?

Le degré de $W_n$ est $2n$ et son coefficient dominant est $1$.

Quelle est la formule de Leibniz pour la dérivée $n$-ième du produit de deux polynômes $P$ et $Q$ ?

$(PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)}$.

Quelle équation différentielle satisfont les polynômes de Legendre $L_n$ ?

$(X^2 - 1) L_n'' + 2X L_n' - n(n + 1) L_n = 0$.

Quel est le principe de l'algorithme de Horner pour évaluer un polynôme ?

Il consiste à réécrire le polynôme sous forme d'emboîtements de facteurs $(x(\dots) + a_k)$ pour minimiser le nombre de multiplications.

Que permet d'estimer la règle des signes de Descartes pour un polynôme à coefficients réels ?

Elle permet d'estimer le nombre de racines réelles positives en comptant le nombre $c$ de changements de signe dans la suite des coefficients non nuls.

Dans la construction des suites de Sturm, comment définit-on $P_2$ à partir de $P_0 = P$ et $P_1 = P'$ ?

$P_2$ est l'opposé du reste de la division euclidienne de $P_0$ par $P_1$ (tel que $P_0 = P_1 Q_1 - P_2$).

Selon le théorème de Sturm, comment calcule-t-on le nombre de racines de $P$ dans l'intervalle $[a, b]$ ?

Il est égal à la différence $V(a) - V(b)$, où $V(x)$ est le nombre de changements de signes dans la suite de Sturm calculée en $x$.

Énoncer le théorème de la division suivant les puissances croissantes à l'ordre $n$ pour $A$ et $B$ avec $B(0) \neq 0$.

Il existe un unique couple $(Q_n, S_n)$ de polynômes tel que $A = B Q_n + X^{n+1} S_n$ avec $\text{deg}(Q_n) \le n$.

À quelle forme simplifiée se ramène une équation générale du troisième degré pour appliquer les formules de Cardan ?

À la forme réduite $x^3 + 3px + 2q = 0$.

Quel est le discriminant $D$ associé à l'équation du troisième degré $x^3 + 3px + 2q = 0$ dans la méthode de Cardan ?

$D = q^2 + p^3$.

Quelle est la formule de Cardan donnant une racine réelle de $x^3 + 3px + 2q = 0$ ?

$x = \sqrt[3]{-q + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-q - \sqrt{D}}$.

Qui a publié la formule algébrique de résolution de l'équation du troisième degré dans l'ouvrage Ars Magna en 1545 ?

Girolamo Cardano (Jérôme Cardan).

Quel mathématicien a introduit des règles de calcul systématiques sur les racines carrées imaginaires dans son traité Algebra (1572) ?

Rafaele Bombelli.

Dans $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$, à quelle condition sur sa division par $X^2 + X$ la fonction polynomiale associée à $P$ est-elle l'application identique ?

Si et seulement si le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2 + X$ est égal à $X$.