Lineare Algebra 1 & 2 Flashcards

Vektor (im $\mathbb{R}^n$)

Ein $n$-Tupel $x = (x_1, \dots, x_n)^T$ reeller Zahlen, wobei $x_i$ die $i$-te Koordinate heißt.

Transponierter Vektor ($x^T$)

Die Darstellung eines Spaltenvektors als Zeilenvektor $(x_1, \dots, x_n)$. Weiter gilt $(x^T)^T = x$.

Ortsvektor

Ein Vektor, der von einem gewählten Koordinatenursprung $0$ auf einen festen Punkt $Q$ zeigt, oft als $\vec{0Q}$ oder $q$ bezeichnet.

Vektoraddition

Die komponentenweise Summe zweier Vektoren $a+b = (a_1+b_1, \dots, a_n+b_n)^T$.

Skalierung (Skalarmultiplikation)

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl $\lambda \in \mathbb{R}$, definiert durch $\lambda a = (\lambda a_1, \dots, \lambda a_n)^T$.

Parallelität von Vektoren

Zwei Vektoren $a, b \neq 0$ heißen parallel ($a \parallel b$), wenn ein $\alpha \in \mathbb{R}$ existiert, sodass $a = \alpha b$.

m x n - Matrix

Ein rechteckiges Schema von reellen oder komplexen Zahlen $a_{ij}$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten.

Transponierte Matrix ($A^T$)

Die Matrix, die entsteht, wenn man die Spalten von $A$ als Zeilen von $A^T$ verwendet ($A^T = (a_{ji})$).

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Die Matrix $(A, b)$, die entsteht, wenn die Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems rechts um den Vektor der rechten Seite ergänzt wird.

Quadratische Matrix

Eine Matrix mit einer gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten ($n \times n$).

Hauptdiagonale

Die Elemente $a_{ij}$ einer quadratischen Matrix, für die $i = j$ gilt.

Untere/Obere Dreiecksmatrix

Eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente oberhalb (untere) bzw. unterhalb (obere) der Hauptdiagonalen gleich 0 sind.

Einheitsmatrix ($E_n$)

Die Diagonalmatrix im $\mathbb{K}^{n \times n}$, bei der alle Hauptdiagonalelemente 1 und alle anderen Elemente 0 sind.

Äquivalente Gleichungssysteme

Zwei Gleichungssysteme heißen äquivalent, falls sie die gleiche Lösungsmenge haben.

Gaußsche Eliminationsverfahren

Ein Standard-Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme durch Überführung in Stufenform mittels Zeilenumformungen.

Pivot-Element

Der erste Nicht-Null-Eintrag jeder Zeile einer Matrix. In der reduzierten Stufenform ist dieser immer 1.

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem

Ein System mit mehr Gleichungen als Unbekannten, das oft keine klassische Lösung besitzt.

Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem

Ein System mit weniger Gleichungen als Unbekannten, das (falls lösbar) unendlich viele Lösungen besitzt.

Skalarprodukt (Axiome)

Eine Abbildung $\langle \cdot, \cdot \rangle$, die Symmetrie (SP1), Additivität (SP2), Homogenität (SP3) und positive Definitheit (SP4) erfüllt.

Euklidisches Skalarprodukt (Punktprodukt)

$\langle a, b \rangle = \sum_{i=1}^n a_i b_i$. Es induziert die herkömmliche geometrische Länge.

Euklidische Norm (Standardnorm)

Die Länge eines Vektors $a$, definiert durch $\parallel a \parallel = (\sum a_i^2)^{1/2}$.

Dreiecksungleichung

Die Norm-Eigenschaft $\parallel a+b \parallel \leq \parallel a \parallel + \parallel b \parallel$.

Maximumnorm ($l_\infty$-Norm)

Die Norm eines Vektors definiert durch $\parallel a \parallel_\infty = \max \{|a_1|, \dots, |a_n|\}$.

Einheitskreis (Einheitssphäre $S^1$)

Die Menge aller Vektoren im $\mathbb{R}^2$ mit der Norm 1.

Kanonische Einheitsvektoren

Vektoren $e_i$, die in der $i$-ten Komponente eine 1 und sonst nur Nullen haben.

Orthogonale Vektoren

Vektoren $a, b$, für die bzgl. eines Skalarprodukts $\langle a, b \rangle = 0$ gilt (Schreibweise $a \perp b$).

Satz des Pythagoras (Vektorraum)

Für orthogonal stehende Vektoren $a, b$ gilt $\parallel a+b \parallel^2 = \parallel a \parallel^2 + \parallel b \parallel^2$.

Orthogonale Projektion ($p_b(a)$)

Der für $b \neq 0$ eindeutig bestimmte Vektor $p = \frac{\langle a, b \rangle}{\langle b, b \rangle} b$.

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Für Vektoren $a, b$ gilt stets $| \langle a, b \rangle | \leq \parallel a \parallel \parallel b \parallel$$, wobei Gleichheit nur bei linearer Abhängigkeit eintritt.

Winkel zwischen Vektoren

Definiert durch $\cos \theta = \frac{\langle a, b \rangle}{\parallel a \parallel \parallel b \parallel}$.

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Ein nur im $\mathbb{R}^3$ definiertes Produkt, das einen Vektor liefert, der senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren steht.

Graßmannsche Identität

Die Rechenregel $a \times (b \times c) = \langle a, c \rangle b - \langle a, b \rangle c$.

Punkt-Richtungsgleichung einer Geraden

Die Form $x = p + \alpha v$, wobei $p$ der Aufpunkt und $v$ der Richtungsvektor ist.

Normalenvektor ($n$)

Ein Vektor, der senkrecht auf einer Geraden (in der Ebene) oder einer Ebene (im Raum) steht.

Hessesche Normalform

Eine Normalform $\frac{\langle x, n \rangle}{\parallel n \parallel} = \frac{\langle p, n \rangle}{\parallel n \parallel}$, bei der der Normalenvektor auf die Länge 1 normiert ist.

Hyperebene

Die Verallgemeinerung einer Geraden im $\mathbb{R}^2$ oder einer Ebene im $\mathbb{R}^3$ auf den $\mathbb{R}^n$. Sie besitzt die Dimension $n-1$.

Lotfußpunkt ($\tilde{q}$)

Der Punkt auf einer Hyperebene oder Geraden, der einem gegebenen Punkt $q$ am nächsten liegt.

Determinante

Eine reelle Zahl, die den Flächen- (n=2) oder Rauminhalt (n=3) des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds beschreibt.

Spatprodukt

Der Ausdruck $\langle a, b \times c \rangle$, der das orientierte Volumen eines Spats im $\mathbb{R}^3$ angibt.

Gruppe (Algebraische Struktur)

Ein Paar $(M, \ast)$, das Assoziativität (G1), Existenz eines neutralen Elements (G2) und Existenz inverser Elemente (G3) erfüllt.

Abelsche Gruppe

Eine Gruppe, in der das Kommutativgesetz $x \ast y = y \ast x$ für alle Elemente gilt.

Isomorphie

Eine bijektive Abbildung zwischen zwei Strukturen, die die jeweiligen Operationen respektiert (strukturerhaltend).

Körper (Field)

Eine Menge mit Addition und Multiplikation, die bzgl. beider Operationen Gruppenaxiome und Distributivgesetze erfüllt (z. B. $\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}$).

Vektorraum

Eine Menge $V$ über einem Körper $K$, die bzgl. Vektoraddition eine abelsche Gruppe bildet und bzgl. Skalarmultiplikation fünf Axiome erfüllt.

Untervektorraum

Eine Teilmenge $U \subseteq V$, die selbst ein Vektorraum ist (abgeschlossen unter Addition und Skalierung).

Direkte Summe ($U_1 \oplus U_2$)

Die Summe zweier Unterräume, deren Schnitt nur den Nullvektor enthält ($U_1 \cap U_2 = \{0\}$).

Linearkombination

Ein Vektor der Form $v = \sum \lambda_i v_i$ mit Skalaren $\lambda_i$.

Lineare Hülle (Spann)

Die Menge $L(v_1, \dots, v_r)$ aller möglichen Linearkombinationen einer Vektormenge.

Lineare Unabhängigkeit

Ein Tupel von Vektoren heißt so, wenn der Nullvektor nur durch eine triviale Linearkombination (alle Koeffizienten Null) dargestellt werden kann.

Basis

Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraums.

Dimension (dim(V))

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis von $V$. Der Nullvektorraum hat die Dimension 0.

Normiertes Polynom

Ein Polynom, dessen Leitkoeffizient $a_n = 1$ ist.

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Interpolationspolynom

Das eindeutig bestimmte Polynom $p_n \in P_n$, das $n+1$ vorgegebene Datenpunkte $(x_k, y_k)$ exakt durchläuft.

Euklidischer / Unitärer Raum

Ein reeller (euklidisch) oder komplexer (unitär) Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist.

Orthogonales Komplement ($M^\perp$)

Die Menge aller Vektoren im Raum, die senkrecht auf allen Elementen einer Menge $M$ stehen.

Orthonormalsystem

Ein Orthogonalsystem, bei dem alle Vektoren zusätzlich die Norm 1 besitzen.

Verfahren von Gram-Schmidt

Ein Algorithmus zur Konstruktion einer Orthonormalbasis aus einer beliebigen Basis.

Bestapproximation

Der Vektor $\hat{v}$ in einem Unterraum $U$, der den kleinsten Abstand zu einem Vektor $v$ hat; entspricht der orthogonalen Projektion $p_U(v)$.

Lineare Abbildung (Homomorphismus)

Eine Abbildung $f$ zwischen Vektorräumen, die Additivität und Homogenität erfüllt.

Kern (ker(f))

Die Menge aller Vektoren des Definitionsbereichs, die auf den Nullvektor abgebildet werden ($f^{-1}(0)$).

Bild (Bild(f))

Die Menge aller tatsächlichen Werte der Abbildung im Zielbereich ($f(V)$).

Rang (rg(f))

Die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung.

Dimensionsformel für lineare Abbildungen

$\text{dim}(\text{ker}(f)) + \text{rg}(f) = \text{dim}(V)$.

Isomorphismus / Automorphismus

Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung. Ist Start- und Zielraum gleich, heißt sie Automorphismus.

Darstellungsmatrix

Die Matrix $M_B^A(f)$, die eine lineare Abbildung bezüglich gewählter Basen $A$ und $B$ vollständig beschreibt.

Invertierbare (Reguläre) Matrix

Eine quadratische Matrix $A$, für die eine Matrix $A^{-1}$ existiert, sodass $AA^{-1} = E$ gilt.

Transformationsmatrix ($T_A^B$)

Die Matrix, die Koordinaten bezüglich der Basis $A$ in Koordinaten bezüglich der Basis $B$ umrechnet.

Leibniz-Formel

Die allgemeine Formel zur Berechnung der Determinante unter Verwendung von Permutationen.

Laplacescher Entwicklungssatz

Ein Verfahren zur rekursiven Berechnung der Determinante durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.

Cramersche Regel

Ein Verfahren zur expliziten Lösung eines LGS mittels Quotienten von Determinanten.

Normalgleichungen

$A^T Ax = A^T b$. Diese dienen zur Bestimmung der Näherungslösung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

QR-Zer