Capitolo 8 statistica

PROBABILITà (concetto)

è un concetto primitivo poiché innato e sempre presente nelle regole di comportamento.

PROBABILITA (misura)

è una misura perché associa al concetto primitivo una valutazione numrica

INCERTEZZA DEL RISULTATO

deriva dal fatto che in una prova sono possibili più esiti. I risultati sono elencabili o possono essere concettualmente assimilati a tutti i numeri inclusi in un intervallo reale.

TIPI DI INCERTEZZA

-momentanea (se può essere risolta con una ricerca)
-tecnologica
-fisica (impossibilità pratica di descrivere tutte le forze di Laplace)
-psicologica (le decisioni umane non sono prevedibili)
-intrinseca (è impossibile determinare posizione e velocità di una particella)
-incertezza aleatoria (ineliminabile)
-incertezza epistemica (ignoranza momentanea o tecnologica che può essere rimossa)

RIPETIBILITà DELL'ESPERIMENTO

in senso stretto ogni esperimento è irripetibile poiché tutto si modifica nell'universo, ma tale concetto è raramente utile perché la conoscenza umana si può comunque affinare tramite la similarità degli esperimenti

L'EQUIPROBABILITà DEI RISULTATI

si ha quando si è indifferenti rispetto al verificarsi di più eventi possibili. il principio di indifferenza può essere sostenuto in due modi: ragioni insufficienti per affermare che un evento ha più probabilità di un altro o ragioni sufficienti per stimare gli eventi come equiprobabili

IN SINTESI

-tutti gli esperimenti sono incerti
-molti esperimenti sono ripetibili
-solo alcuni esperimenti danno luogo ad esiti equiprobabili

DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA

Dato un esperimento ben specificato ed un evento E tra quelli possibili per quell'esperimento, se M è il numero dei possibili risultati che danno luogo all'evento E mentre N è il numero di tutti possibili risultati dell'esperimento, allora la probabilità dell'evento E è il rapporto m/n, purché tutti gli n risultati siano ugualmente possibili. Pr(E)=m/n

DEFINIZIONE FREQUENTISTA DELLA PROBABILITA

Dato un esperimento ben specificato e perfettamente ripetibile, sia E un evento tra quelli possibili, ed indichiamo con FREQ(E) il numero di volte che E si è verificato in una serie di n esperimenti ripetuti tutti nelle medesime condizioni, per cui FREQ(E)/n è la frequenza relativa di E. Allora, la probabilità di E è il limite cui tende la frequenza relativa dell'evento E al crescere del numero degli esperimenti. (anche eventi non equiprobabili, concetto di mutualità tra i soggetti di una stessa collettività)
critiche: imp definire analiticamente un limite
-non tutti gli esperimenti sono ripetibili

DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA DELLA PROBABILITA

Dato un esperimento ben specificato, sia E un evento tra quelli possibili. Allora, la probabilità di E è la somma che un individuo coerente è disposto a scommettere in un gioco equo nel quale al verificarsi di E egli riceve dal banco un importo unitario. misura del grado di fiducia che una persona coerente attribuisce al verificarsi di un evento

ASSIOMATIZZAZIONE

Una scienza assiomatica stabilisce il proprio contenuto individuando gli elementi di cui si occupa, le regole per combinarli e gli enunciati fondamentali , ricercando poi nuovi risultati (teoremi) per ampliare il proprio campo di interesse spesso per esigenze applicative

1

Individuazione dei concetti primitivi, cioè di quegli elementi non definibili ma che hanno prodotto convinzioni universali da farli ritenere coincidenti.

2

Enunciazione postulati, cioè affermazioni non dimostrabili ma utili e coerenti e necessarie per costruire la scienza assiomatica

3

Dimostrazione di teoremi a partire dai postulati e con l'ausilio di logica e matematica.

Concetti primitivi PROVA

ogni esperimento soggetto ad incertezza, il meccanismo che produce i risultati, per cui la conoscenza della prova equivale alla conoscenza delle circostanze che la determinano. Una prova può essere articolata in sottoprove.

EVENTO

si intende uno dei possibili esiti di una prova e consiste nella descrizione precisa ed esauriente delle sue caratteristiche in rapporto alla natura e allo svolgimento dell'esperimento. Una prova è ben definita solo se sono ben definiti gli eventi a cui può dar luogo.

PROBABILITA

Si intende un numero associato al verificarsi di un evento.

UNA PROVA è COMPLETA QUANDO...

Si è svolta in modo esauriente in tutte le caratteristiche e le circostanze spazio temporali. impossibile formalizzare tutte le prove che si possono immaginare

ESTRAZIONE DA UN'URNA DI UNA O PIÙ PALLINE

semplice ma con numerose varianti:
-estrazioni bernoulliane (con ripetizione)
- estrazioni in blocco (senza ripetizione)

ATTESA DI UN EVENTO

-prove ripetute finché non si verifica un evento
-intervallo di tempo fra il presentarsi di due eventi

PROBABILITÀ GEOMETRICA

eventi sono costituiti da figure geometriche e la prova consiste nell'esaminare la possibilità che si verifichi una relazione tra enti geometrici.

POSTULATO FORMALIZZAZIONE DEGLI EVENTI

Gli eventi formano un'algebra di boole completa

ALGEBRA

Insieme di enti, operazioni, relazioni e regole per collegare gli elementi appartenenti alla stessa algebra. È una struttura formale gli eventi tra loro.

UNIONE

L'unione tra eventi A e B è quell'evento C che si verifica allorquando si verifica ALMENO UNO dei due eventi

NEGAZIONE

dell'evento A è quell'evento che si verifica quando non si verifica A

Ω

SPAZIO CAMPIONE insieme dei risultati di una prova. È l'evento certo.

INTERSEZIONE

di A e B è quell'evento C che si verifica se e solo se si verificano CONTEMPORANEAMENTE sia A che B

LEGGI DE MORGAN

EVENTI INCOMPATIBILI

se non possono verificarsi contemporaneamente

EVENTI NECESSARI

se la loro unione è evento certo, cioè se si verifica almeno uno dei due eventi.

PARTIZIONE DI Ω

una collezione di eventi necessari e incompatibili

INCLUSIONE

Un evento A si definisce incluso nell'evento B se tutte le volte che si verifica A si verifica anche B

1 POSTULATO

Pr(Ei) maggiore o uguale di 0 per ogni evento appartenente a Ω

2 POSTULATO

Pr(Ω)=1

3 POSTULATO

Pr(Ei unito Ej)= Pr(Ei) unito Pr (Ej) se la loro intersezione è impossibile.

TEOREMA UNO

Pr(B intersecato non A) = Pr(B)-Pr(A intersecato B)

TEOREMA DUE

Pr(non A)=1-Pr(A)

TEOREMA TRE

Pr(ò)=0

TEOREMA QUATTRO

A incluso B --> Pr(A)<Pr(B)

TEOREMA CINQUE

per ogni E incluso Ω --> 0< Pr(E) <1

TEOREMA SEI

Pr(A unito B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A intersecato B)

TEOREMA SETTE

Pr(A unito B unito C)= Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)-Pr(A intersecato B)-Pr(A intersecato C)-Pr(B intersecato C)+Pr(A intersecato B intersecato C)

TEOREMA OTTO

DISUGUAGLIANZA DI BOOLE data una collezione di eventi Ei incluso Ω Pr(unione eventi)< somma Pr (Ei)

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Se Pr(A)>0 Pr(B|A)= Pr(A intersecato B) FRATTO Pr(A)
-la probabilità di qualsiasi evento E inclusoΩ può essere interpretata come una probabilità condizionata

EVENTI INDIPENDENTI SE.....

Se e solo se Pr(A intersecato B)=Pr(A)Pr(B)
-implicazioni

PARTIZIONE EQUIPROBABILE

una collezione di eventi tale che vi siano:
-necessarietà
-incompatibilità
-equiprobabilità
Si deduce 1=nPr(Ei) Pr(Ei)=1/n