Funzioni a Valori Vettoriali e Curve

Flashcards in Italian for review of vector-valued functions, limits, continuity, derivatives, curves, and related concepts.

Funzioni di una variabile a valori vettoriali

In cinematica, la posizione di una particella in movimento è univocamente determinata in ogni istante di tempo t.

Posizione

Coordinate spaziali al tempo t: (x(t), y(t), z(t))

Dom(f)

{x∈IR: ∃ f(x)} = Dom(f₁) ∩ Dom(f₂) ∩ … ∩ Dom(fₘ) ⊆ IR

Im(f)

{y∈RM: ∃ x∈ Dom(f) tale che y = f(x)} ⊆ IRM

G(f)

Grafico di f = {(x, f(x)): x ∈ Dom(f)} ⊆ Rm+1

Limite di f: IR -> RM

Sia f: I -> IRM, ICR, e sia xo un punto di accumulazione di I. Si dice che limx->xo f(x) = l ∈ IRM se ∀ε>0 ∃δ=δ(ε) tale che se x∈ I e |x-xo|< δ => |f(x)-l|<ε

Osservazione sui limiti

limx->xo f(x) = l => limx->xo |f(x) - l| = 0

Teorema sui limiti

limx->xo f(x) = l

Continuity

Sia f: I ⊆ R -> RM e sia xo ∈ I, xo punto di accumulazione di I. Si dice che f è continua in xo se limx->xo f(x) = f(xo).

f(x) = (f₁(xo), …, fm(xo))

f è continua in xo

Derivata vettoriale

Sia f: (a,b) -> IRM e sia xo ∈ (a,b). Si dice che f è derivabile in xo se esiste finito limh->0 (f(xo+h) - f(xo))/h.

Derivata vettoriale di f in xo

Tale limite è detto derivata vettoriale di f in xo e si indica come f'(xo), Df(xo), df/dx(xo).

C⁰(a,b)

{f: (a,b)->IR : f è continua in (a,b)}

C¹(a,b)

{f: (a,b)->IR: f, f' ∈ C⁰(a,b)}

Cm(a,b)

{f: (a,b)->IR: f', …, f(m) ∈ C⁰(a,b)}

C∞(a,b)

{f: (a,b)->IR: ∀k∈N, f(k) ∈ C⁰(a,b)}

Curve continue

r: I -> IRM, r ∈ C⁰(I)

Curva

Individuata da un intervallo I e una funzione r(t) = (r₁(t), …, Rm(t)).

r(I) = sostegno della curva

Immagine di r(t).

I = [a, b] (intervallo chiuso)

Se I = [a, b], r(a) e r(b) sono gli estremi della curva.

I = [a,b]

a = istante iniziale, b = istante finale

r(a)

Posizione iniziale, r(b) = posizione finale.

Curva chiusa

Se I = [a,b] e r(a) = r(b).

Curva piana

se r(I) ⊆ piano.

Curva semplice

Se I=[a,b], allora è semplice se ∀ t₁, t₂ ∈ [a,b), t₁ != t₂ => r(t₁) != r(t₂).

Orientamento

Verso di percorrenza.

Derivata di una curva

r'(to) = limh->0 (r(to+h)-r(to))/h.

r'(to) =

Vettore tangente alla curva r in r(to).

Curva regolare

I(t): I-> IRM si dice regolare se r ∈ C¹(I) e r'(t) != 0, ∀t ∈ I.

Una curva regolare

Ammette vettore tangente r'(t) != 0 in ogni punto.

Una curva di parametrizzazione

r(t) su I si dice regolare a tratti se ∃ N taliche [a,b] = ∪Ii, Ii = [ti, ti+1], r ∈ C¹(Ii) e |r'(t)| != 0.

Curva cartesiana

f: I-> R, f ∈ C⁰(I), I= [a,b].

Curve polari

r(t) = (p(t) cos θ(t), p(t) sin θ(t)).