FISICA POTENTISSIMA PORCODI

metodo sperimentale

• esperimento: bisogna raccogliere dati e osservazioni per verificare una teoria e porsi in condizioni le più semplici possibili, eliminando le variabili estranee e controllando le condizioni iniziali (con l’intuito fisico).

• ipotesi: momento di induzione.

• legge fisica: momendo di deduzione. Bisogna dedurre dall’ipotesi la legge che governa ciò che si sta osservando, e trarre varie conseguenze.

• verifica: si compie attraverso vari esperimenti, che possono verificare l’intera legge o restringerne la validità, fino a smentirla del tutto.

leggi fisiche

Relazioni tra equazioni matematiche che servono a descrivere il comportamneto dei fenomeni naturali

equazione dimensionale

Un'espressione matematica che mette in relazione le dimensioni fisiche di una grandezza con altre grandezze fisiche, utile per analizzare e verificare la coerenza di leggi fisiche.

descrivere la posizione di un punto materiale

Retta orientata, sistema di assi cartesiano, levogiro e destrogiro

dimotra che lo spazio è omogeneo

= la scelta di origine è arbitraria…

dimostra che lo spazio è isotropo

= la scelta di direzione (verso degli assi) è arbitraria…

dimostra che il tempo è omogeneo

= la scelta di origine è arbitraria…

il tempo è

omogeneo

lo spazio è

isotropo, omogeneo e pari

regole epistemologiche di Newton

• non ammettere altre cause dei fenomeni oltre a quelle necessarie a spiegarli

• riferire alla stessa causa fenomeni equivalenti

• validità dell’induzione fino a prova contraria (ovvero nuovi fenomeni scoperti che la contraddicono)

dimostra la parità dello spazio

= uguaglianza per simmmetria/riflessione

descrivi le coordinate polari

Sistema di coordinate che utilizza la distanza da un punto fisso e un angolo per determinare la posizione di un punto in un piano.

descrivi le coordinate sferiche

Coordinate utilizzate in un sistema tridimensionale per descrivere la posizione di un punto attraverso un raggio e due angoli.

cos’è una trasformazione di simmetria?

Una trasformazione che mantiene le proprietà geometriche di un oggetto, come la sua forma e dimensione, includendo riflessioni, rotazioni e traslazioni.

dimostra che la traiettoria di un proiettile è una parabola

Si parte dall’equazione del moto lungo l’asse delle x, x(t) = x0 + v₀t.

Se x0 = 0, x(t) = v_0xt

ricavo t = x/v_0x

pongo a sistema le due equazioni del moto sui due assi cartesiani e sostituisco la t nell’equazione delle y: trovo che la traiettoria descritta è quella di una parabola.

dimostra l’angolo che comporta una gittata massima

ISTANTE 0

Si parte dall’equazione del moto lungo l’asse delle x, x(t) = x0 + v₀t.

Se x0 = 0, x(t) = v_0xt

ISTANTE FINALE

ricavo la t dall’equazione sull’asse delle y con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, con segno positivo. x_finale = v_0xt, per cui sostituisco la t e poi raccolgo v_0y. Se pongo l’altezza h = 0, quindi che il proiettile parte da terra, trovo che x_f = sin2a * v₀²/g
Per cui x_f è massima se 2a = pi/2 → a = pi/4

trova la formula di poisson dalle considerazioni sul moto circolare

Si parte da v = ω x r. Vedo v come dr/dt.

r = R u_r, per cui posso anche scrivere che du_r/dt = ω x u_r.

Generalizzando ad un vettore qualsiasi dA(t)/dt = d/dt (A(t) * u_A) = (derivata di un prodotto)

poi sostituisco du_A/dt con w x u_A, che moltiplicato per A(t) mi da

w_A x A(t).

deduci l’equazione del moto armonico dall’eq. di secondo grado dell’accelerazione e l’equazione del moto circolare.

• a = ω²x, dove a è l'accelerazione, ω è la pulsazione e x è lo spostamento. Questa equazione descrive il moto di un oscillatore armonico semplice, in cui l'accelerazione è proporzionale e opposta allo spostamento dalla posizione di equilibrio.

  La vedo come un’equazione di secondo grado (d²x/dt² = -ω²x), che risolvo con la formula risolutiva x(t) = c₁sen(ωt + φ) + c2cos(ωt + φ), dove c1 e c2 sono costanti determine dalle condizioni iniziali.

• c1 = v₀/w

• c2 = x₀

  per cui x(t) = v₀/w sen(wt) + x₀ cos(wt)

• x(t) = A sen (wt + phi) = A senwt cos(phi) + A coswt sen(phi)

Quindi, mettendole a confronto, trovo che:

• x₀ = A sen(phi)

• v₀ = wA cos(phi)

• tg(phi) = w x₀ / v₀

• A = sqrt(x₀² + v₀²/w)

• x(t) = Rcoswt = Rsen(wt + pi/2)

• y(t) = Rsenwt

relazione velocità-posizione

inizia da v dv = v dv (dt/dt) = v a dt = a v dt = a dx

poi si integra tra 0 e t, per cui 1/2(v² - v0²) = a (x-x0)

v = sqrt(v0² + 2a(x-x0))

moto con attrito viscoso

a = -kv. Vedo a come dv/dt, poi riordino:

dv/v = -k dt

integro tra 0 e t:

ln v/v₀ = -kt

v/v₀ = e^-kt

v(t) = v₀ e^-kt

mentre x(t) = x₀ + integrale tra 0 e t di v₀ e^-kt dt = x₀ + v₀/k (1 - e^-kt)

per grandi t → x₀ + v₀/k

prodotto scalare

prodotto vettoriale

deduci la dipendenza tra velocità angolare e velocità tangenziale nel moto circolare

scrivi l’equazione del moto armonico e deriva il periodo da essa

trova la formulazione dell’accelerazione nel moto circolare

cos’è la forza?

È un’interazione che può modificare lo stato di moto o la forma di un corpo.

spiega il primo principio di Newton

Anche detto legge d’inerzia, ci dice che esistono dei sistemi di riferimento INERZIALI per cui un corpo non soggetto a forze permane indefinitivamente nel suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme.

spiega il secondo principio di Newton

spiega cosa succede se agiscono delle forze su di un corpo.

L’applicazione di una forza risulta alla variazione del moto del corpo, per cui comporta un’accelerazione o decelerazione.

Al moto però si oppone la massa inerziale, per cui l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa inerziale.

F = ma

Spiega in modo DEDUTTIVO il secondo principio di Newton

Posso vedere la relazione F = ma come un’equazione differenziale: F = m d²x/dt²

So che la soluzione di questa equazione è data dalla velocità e dallo spostamento iniziali, e che la forza dipende da spostamento, velocità e tempo. Conoscendo la forza in tutti gli istanti di tempo considerati posso determinare la legge oraria del corpo soggetto a tale forza.

spiega in modo INDUTTIVO la seconda legge di Newton

Conoscendo massa e accelerazione nel tempo, posso indurre la forza che causa tale spostamento. Ciò è stato fatto con le orbite dei pianeti di Keplero, con le quali Newton indusse la legge di gravitazione universale. Oppure con le perturbazioni del moto dei pianeti, che hanno portato Adams e Le Verrier a indurre la presenza di un’altro pianeta, Nettuno.

spiega il terzo principio di newton e un possibile equivoco

Se un corpo esercita una forza (azione) su di un corpo, esso eserciterà una forza uguale e contraria (reazione, 1° proprietà) lungo la stessa retta d’azione (2° proprietà).

Un possibile equivolo sarebbe: ma quindi niente si può muovere!

Prendiamo il caso di un blocco legato ad una fune, che viene tirata fino a far spostare il blocco. la forza esercitata dalla fune ha un punto di applicazione diverso da quella esercitata dal blocco, una si trova sulla fune e l’altra sul blocco. Quindi, considerando solo il blocco per esempio, abbiamo che la forza che agisce su di esso è solo quella della fune, e viceversa.

Cos’è il determinismo Newtoniano?

Il determinismo newtoniano afferma che conoscendo con esattezza lo stato iniziale di un sistema (cioè le posizioni e le velocità di tutte le particelle) e le leggi fisiche che lo governano, è possibile prevedere con certezza tutto ciò che accadrà in futuro, così come risalire a tutto ciò che è accaduto nel passato.

Data un’equazione m d²x/dt² = F, date le condizioni iniziali x₀ e v₀ e nota F nel tempo, esiste una sola funzione x(t) che soddisfa l’equazione.
Quindi il futuro (e il passato) del corpo è completamente determinato.

Dimostrami la conservazione di quantità di moto

Parto da un punto P, a cui viene impressa una forza F. So che

p = mv

derivo

(*) dp/dt = m dv/dt = ma = F (per il secondo principio)

Se ho due corpi che interagiscono, per il 3° principio ho che (£)

F₁₂ = F₂₁

Per (*) F₁₂ = dp₁/dt, mentre F₂₁ = dp₂/dt

Allora, quando vengono sommate, d(p₁ + p₂)/dt = F₁₂ + F₂₁ = 0

Quindi la quantità di moto totale p = p₁ + p₂ è costante e si conserva nel tempo

dimostra la base fenomenologica della 1° proprietà del 3° principio di Newton

Si dimostra tramite la conservazione della quantità di moto durante un urto elastico.

dimostra la conservazione del momento angolare

dL₀ /dt = d(OP x p)/dt = dOP/dt x p + dp/dt x OP = v x p + OP x F

dove

• v x p = 0 perchè v//p

• OP x F = M_o (momento della forza)

Quindi M_o = dL_o/dt

considero L_o = L_o1 + L_o2

derivo:

d(L_o1 + L_o2)/dt = OP₁ x F₁₂ + OP₂ x F₂₁

che per il 3° principio sarebbe

(OP₁ - OP₂) x F₁₂ = P₁P₂ x F₁₂ = 0 perchè parallele

Quindi dL₀ /dt = 0 → L₀ totale si conserva

dimostra che M_o = dL_o/dt

dL₀ /dt = d(OP x p)/dt = dOP/dt x p + dp/dt x OP = v x p + OP x F

dove

• v x p = 0 perchè v//p

• OP x F = M_o (momento della forza)

Quindi M_o = dL_o/dt

cosa dice il teorema di Noether?

Se un sistema ha una simmetria continua che dipende da n parametri, allora esistono n qantità fisiche associate che si conservano.
Con deboli assunzioni Noether trovò che la conservazione della quantità di moto è dovuta all’omogeneità dello spazio, mentre la conservazione del momento angolare è dovuta all’isotropia dello spazio.

differenza tra massa inerziale e massa gravitazionale?

La massa inerziale misura la resistenza di un corpo all’accelerazione quando sottoposto a una forza (F = m_i·a).
La massa gravitazionale misura quanto un corpo subisce o produce forza gravitazionale (F_p = m_g·g o legge di gravitazione universale).
Esperimenti mostrano che sono numericamente uguali (principio di equivalenza), per cui tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione in assenza di attrito.

Considerazioni sulla forza peso?

La forza peso è la forza con cui la Terra attrae un corpo di massa m verso il suo centro:

P=mg

È diretta verso il basso (verso il centro della Terra) ed è un caso particolare della forza gravitazionale, valida vicino alla superficie terrestre dove g è quasi costante.

spiegami la reazione vincolare normale

È la forza esercitata da una superficie perpendicolarmente al contatto con un corpo, che impedisce a quest’ultimo di penetrarla. In assenza di altre forze verticali, bilancia il peso (N=P).

spiega la tensione esercitata su un filo

È la forza trasmessa lungo un filo o una corda tesa, diretta sempre verso l’interno del filo (tirando gli estremi). In un filo ideale (massa trascurabile e inestensibile) la tensione è la stessa in ogni punto.

tre leggi di Amontons e Coulomb

• Quando il corpo è fermo:

  Fs < μ_sN

• le superfici iniziano a scorrere se:

  Fs = μ_sN

• se le due superfici scorrono, l’attrito dinamico:

  Fd = μ_dN

0 < μ_d < μ_s < 1

da cosa è originato l’attrito?

Deriva da irregolarità microscopiche delle superfici e da interazioni molecolari tra i punti di contatto. Anche superfici “lisce” presentano asperità che si incastrano e richiedono forza per essere superate.

Più sono i frattali in contatto, più l’attrito sarà forte.

Spiega la formula dell’attrito viscoso

Per velocità piccole, la forza viscosa è proporzionale alla velocità:

Fv = −bv - b’ v |v|

• -bv è il coefficiente viscoso, che dipende dal fluido e dalla forma del corpo. Il segno meno indica che la forza si oppone al moto.

• - b’ v |v| è dovuto alla formazione di vortici

spiega la forza elastica

È la forza con cui un corpo elastico tende a ritornare alla forma iniziale quando viene deformato. Segue la legge di Hooke:

F = −kΔx

dove k è la costante elastica e Δx l’allungamento o la compressione.

cos’è un oscillatore armonico?

È un sistema in cui la forza è proporzionale allo spostamento e diretta verso la posizione di equilibrio:

F=−kx

e segue la legge oraria:

x(t) = A sen (wt + phi)

Esempi: massa su molla, pendolo per piccole oscillazioni. Il moto risultante è armonico semplice, con oscillazioni sinusoidali

Come funziona il pendolo semplice?

È costituito da una massa puntiforme appesa a un filo inestensibile e senza massa, di lunghezza L. Oscilla sotto l’azione della componente tangenziale del peso.

dimostra la formula dell’accelerazione del pendolo semplice

v(t) = v(t) u_T (t)

u_T = (cosa, sina)

calcolo la derivata della velocità

dv/dt = dv/dt u_T + du_T/dt v

du_T/dt = (da/dt -sena, da/dt cosa) = da/dt (-sena, cosa) = da/dt u_N

per il moto circolare v = dx/dt = L da/dt

quindi da/dt = v/L

l’accelerazione è quindi

a = dv/dt = dv/dt u_T + du_T/dt v = dv/dt u_T + v/L u_N v = dv/dt u_T + v²/L u_N

qual è l’equazione per il moto di un pendolo semplice?

equazione di Newton:

• m_i a = T + m_g g

lungo la direzione tangenziale:

• m_i L d²a/dt² = -m_g g sena

lungo la direzione normale:

• m_i L d²a/dt² = T - m^g g cosa

Concentrandomi sull’equazione tangenziale posso effettuare l’approssimazione per piccole oscillazioni, semplificando sina con a:

d²a/dt + m_g/m_i g/L a = 0

che è la classica equazione per l’oscillatore armonico, che ha pulsazione:

w = sqrt(m_g/m_i g/L) = sqrt(g/L)

e periodo:

T = 2pi/w

Cosa s’intende per approssimazione delle piccole oscillazioni?

Quando l’angolo di oscillazione θ è piccolo, si può approssimare sin⁡θ≈θ (in radianti). Questo linearizza l’equazione del moto, che diventa quella di un oscillatore armonico semplice.

spiega come Varignon ha capito l’additività della forza

trova la formula del primo termine della forza viscosa

trova l’equazione del moto di una molla

qual è la forma generale e quella integrale della seconda legge di Newton?

forma integrale → teorema dell’impulso

qual è la quantità che si conserva come conseguenza dell’omogeneità del tempo per il teorema di Noether?

l’energia

definizione di lavoro e le sue proprietà

Il lavoro di una forza è il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento del punto di applicazione.

dW = F dx = F ds cosa

generalizzando:

W_AgammaB = int_AgammaB (F dx) = int_A^B (F(x) dx)

le sue proprietà sono:

• int_A^B (F(x) dx) = -int_B^A (F(x) dx)

• AgamaB U BgammaC = AgammaC

cos’è la potenza? Cosa dice la legge della potenza? con dimostrazione

la potenza è il lavoro per unità di tempo

P = F*v

LEGGE DELLA POTENZA: P = dK/dt

DIM:
dK/dt = d/dt m v*v/2 = mv dv/dt = F*V = P

dammi la definizione di energia cinetica

K = ½ m v² = p² / 2m

E’ l’energia correlata allo spostamento

enuncia il teorema delle forze vive e dimostralo

il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro compiuto per spostare un corpo dalla posizione A alla posizione B è uguale alla differenza di energia cinetica nei punti B e A. W_AgammaB = K(B) - K(A), che è come dire int di AgammaB di F dx = ½ m v² (B) - ½ m v² (A).

DIMOSTRAZIONE:

parto dal secondo principio di Newton, che ci dice che F = ma = m dv/dt.

Assumo x(t₀) = A, x(t₁) = B

W_AgammaB = int^t1_t0 ( F dx/dt dt) = int^t1_t0 ( m dv/dt v(t) dt)

So che dv²/dt = d(v*v)/dt = v dv/dt + dv/dt v = 2 dv/dt v

per cui int^t1_t0 ( m/2 dv²/dt dt) = mv²/2 (x(t1) - mv² /2 (x(t0)) = mv²/2 (B) - mv²/2 (A)

spiega cos’è una forza dissipativa e fanne un esempio

Una forza dissipativa è una forza che compie SEMPRE lavoro negativo (e quindi dissipa energia cinetica).

ESEMPIO: forza d’attrito dinamico

W_AgammaB = int_AgammaB (F_d * dx) = int (F_d ds cosθ) = int (mu_d N ds cosθ) = -mu_dN int_AgammaB (ds) = = -mu_dN | AgammaB |

Per cui, per il teorema delle forze vive ho che la velocità in B è sempre inferiore alla velocità in A e il lavoro compiuto è sempre negativo.

dimmi la definizione di forza posizionale e degli esempi

Una forza F (x, dx/dt, t) si dice posizionale se dipende solo da x.

ESEMPI: forza peso, forza elastica

Quando una forza posizionale si dice anche conservativa?

Quando il lavoro compiuto da questa forza non dipende dal cammino scelto, ma solo dalla posizione degli estremi.

Nabla = ? qual è la proprietà delle derivate parziali che serve a diostrare il teorema dell’energia potenziale?

Nabla = (d/dx, d/dy, d/dz) tutte derivate parziali

PROPRIETA’:

(derivate totali) df(x(t), y(t))/dt = df(x(t), y(t))/dx dx/dt + df(x(t), y(t))/dy dy/dt (derivate parziali)

enuncia il teorema dell’energia potenziale e dimostralo (=>)

Se una forza è posizionale e conservativa, allora esiste una funzione scalare U(x) detta ENERGIA POTENZIALE definita a meno di una costante tale che

1. W_AgammaB = -(U(B) - U(A))

2. F(x) = -nabla U(x)

DIMOSTRAZIONE a meno di una costante

• Fisso un punto P₀ arbitrario e siano x le coordinate del punto P. Sia P₀gammaP

• definisco U(x) = -int_P0gammaP(F dx) = -int_P0gammaA(F dx) = U(A)

• Se F è conservativa → U(x) non dipende dal tragitto scelto tra P₀ e P. Calcolo:
  -(U(B) - U(A)) = int_P0gammaB(F dx) - int_P0gammaA(F dx) = int_P0gammaB(F dx) + int_AgammaP0(F dx) = int_AgammaB(F dx)

• 
  

• Definisco poi P₁ e denoto U₁(x) = - int_P1gammaP(F dx) (*)

• Scelgo P₁gammaP = P₁gammaP₀ U P₀gammaP, quindi

• (*) = - int_P1gammaP0(F dx) - int_P0gammaP(F dx) = C + U(x)

DIMOSTRAZIONE 2

prendo in considerazione F_x = dU/dx

dU(x)/dt = lim U(x+Δx, y, z) - U(x, y, z) / Δx per Δx→0 (%)

Dalla dim. 1 abbiamo dimostrato che U(x+Δx, y, z) - U(x, y, z) = - int^{(x+Δx, y, z)}_{(x, y, z)} (F dx) = int^(x+Δx)_x (F_x (x’, y, z) dx) = (teo. valore intermedio) = -F_x (x(ξ), y, z) Δx

dove x’ = x(ξ) compreso tra x e x+Δx

per cui (%) = lim - F_x (x(ξ), y, z) Δx / Δx per Δx →0 = - F_x (x, y, z).

enuncia il teorema dell’energia potenziale e dimostralo (<=)

Se esiste una funzione scalare U(x) tale che F(x) = -nabla U(x), allora F è conservativa

DIMOSTRAZIONE

pongo x(t₀) = A, x(t₁) = B

W_AgammaB = int_AgammaB (F dx) = int_AgammaB ( - nabla U(x) dx) =

-int_AgammaB (dU/dx dx + dU/dy dy + dU/dz dz) = -int_t0^t1 ( dU/dx dx/dt + dU/dy dy/dt + dU/dz dz/dt) dt = -int_t0^t1 (dU(x(t))/dt dt) =

-(U(x(t₁)) - U(x(t₀))) = -(U(B) - U(A))

Quindi il lavoro è indipendente dal percorso → F è conservativa

A cosa equivale l’energia meccanica?

E_M = K + U

enuncia il teorema di conservazione dell’energia meccanica e dimostralo in due modi

Se un punto materiale è soggetto a forze conservative, la sua energia meccanica sarà costante nel tempo, cioè verrà conservata.

DIMOSTRAZIONE 1

W_AgammaB = (teo. forze vive) = K(B) - K(A) = (F conservativa) = - (U(B) - U(A))

quindi

W_AgammaB = K(B) + U(B) = K(A) + U(A)

DIMOSTRAZIONE 2

utilizzo la legge della potenza:

dK/dt = F v = (F conservativa) = -nabla U(x) dx/dt = - [ dU/dx dx/dt + dU/dy dy/dt + dU/dz dz/dt ] =

= - d/dt (U(x(t)))

per cui dK/dt + dU/dt = 0 → d(K + U)/dt = 0

cosa succede quando si considera la conservazione dell’energia meccanica per i moti unidimensionali?

La forza conservativa dipende da una sola coordinata e la conservazione dell’E_M è uguale alla equazione di Newton F = ma

Abbiamo già dimostrato che F = ma = dE_M/dt = 0

Dimostriamo il viceversa, ovvero che se F(x) = - dU(x) / dx e quindi se

E_M = ½ m v² (t) + U(x) = costante

allora vale F = ma

DIMOSTRAZIONE

derivando E_M rispetto al tempo

0 = dE_M/dt = m dv/dt v + dU/dx dx/dt = (ma + dU/dx)v = 0

per cui ma = - dU/dx = F

elenca i vari punti di equilibrio possibili nei diagrammi energia

• punto di equilibrio STABILE:

  se x₀ è un minimo. Infatti, espandendo U(x) in serie di Taylor fino al 2° grado attorno a x₀ , avremmo:
  U(x) = U(x₀) + dU/dx (x₀)(x-x₀) + ½ d²U/dx² (x₀)(x-x₀)

  dove U(x₀) è costante e il secondo termine = 0

  per cui F = - dU(x)/dx = - d²U(x₀)/dx² (x-x₀) (*)

  cioè: forza NEGATIVA se x-x₀ è positivo e viceversa, per cui per piccoli spostamenti da x₀ la forza tende a riportare il punto verso x₀

  (*) è l’equazione dell’oscillatore armonico con pulsazione w = sqrt(1/m d²U(x₀)/dx²)

• punto di equilibrio INDIFFERENTE:

  se in un intorno di x₀ U(x) è costante (dU(x₀)/dx = 0)

  Se il punto viene spostato da x₀ sarà comunque in equilibrio, perché F = 0

• punto di equilibrio INSTABILE:

  se x₀ è un massimo. Infatti per piccoli spostamenti la forza è diretta in verso opposto a x₀, quindi il punto tenderebbe ad allontanarsi da x₀

Spiega la retta costante nei diagrammi energia

Questa retta costante rappresenta l’energia meccanica.

Dato che E_M = K + U, e K >= 0 → E_M >= U

Per cui i luoghi del grafico in cui l’energia potenziale è maggiore dell’energia meccanica non sono fisicamente possibili, e quindi sono da scartare.

Negli estremi delle regioni in cui E_M >= U, E_M = U per cui K = 0

Ma, non essendo punti di equilibrio, il corpo risente di una forza nel verso opposto da quello da cui è giunto.

Inoltre, se ci sono più regioni sconnesse con E_M >= U, il punto rimane nella regione iniziale: non può “fare salti” da una regione all’altra

Se la regione con E_M >= U ha un solo estremo (l’altro è all’infinito) l’unico moto possibile è quello che arriva dall’infinito, raggiunge l’estremo, inverte il suo verso e poi ritorna all’infinito

Infine, se E_M > U per tutto il grafico, senza quindi punti d’incontro, il moto del corpo va da infinito a infinito in un verso o nell’altro.

cos’è una forza centrale?

è una forza diretta lungo la congiungente ad un punto fissato, detto centro, il cui modulo dipende solo dal vettore r che va dal punto di applicazione al centro

cos’è una forza centrale a simmetria sfrica e qual è la differenza con una forza semplicemente centrale?

è una forza il cui modulo dipende da r(vett) solo tramite il modulo di r.

La differenza sta nel fatto che la forza semplicemente centrale può dipendere anche da altre variabili quali il tempo o altri parametri.

Enuncia e dimostra il teorema che dice che le forze centrali sono conservative se e solo se…

sono a simmetria sferica.

DIMOSTRAZIONE simmetria sferica => conservative

Calcoliamo il lavoro infinitesimo fatto da F con uno spostamento dx:

dW = F(r ) u_r * dx = F(r ) ds cosθ = F(r ) dr

W_AgammaB = int_AgammaB F dx = int_AgammaB F(r ) dr che riscrivo in maniera furba:

int_rA^rB d/dr [ int₀^r F(r’) dr’] dr = int^rB F(r’) dr’ - int^rA F(r’) dr’

-int^{r = |x|} F(r’) dr’ = U(x) è la differenza di energia potenziale in due punti → funzione scalare che mi dà esattamente il lavoro lungo il cammino per andare da un punto all’altro → F è conservativa

DIMOSTRAZIONE centrale conservativa => simmetria sferica

Consideriamo un cammino composto da due archi centrati in C infinitesimamente vicini. Dato che F è sempre diretta verso C, ortogonalmente agli archi, esis non danno contributo al lavoro

{ W¹_AgammaB = F (r, θ_B)dr

{W²_AgammaB = f (r, θ_A) dr

Se F è conservativa, W¹_AgammaB = W²_AgammaB →

→ F(r,θ_B) dr = F(r,θ_A)dr

Cioè F non dipende da θ, ma solo da r

elenca le coseguenze di avere una forza centrale F e un momento angolare L_C rispetto al centro

dL_C/dt = r x F = 0 perché F // r → L_C è costante

1. la direzione di L_C è costante, allora r e v giacicono sullo stesso piano → la traiettoria di P è PIANA

2. poichè il verso di L_C è costante il moto avviene sempre lungo lo stesso verso (se cambiasse da v a -v il verso di L_C cambierebbe)

3. definisco VELOCITA’ AEREOLARE l’area A spazzata dal raggio vettore del punto materiale soggetto a F nell’unità di tempo:

   dA/dt = costante

   infatti dA = ½ r v dt sinθ (area rettangolo) = ½ |r x v| dt

   per cui dA/dt = ½ |r x v| = ½ 1/m |L_C| = costante.

cos’è la relatività galileiana?

La relatività galileiana afferma che le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ovvero sistemi che si muovono a velocità costante l'uno rispetto all'altro. Questo significa che non è possibile distinguere, attraverso esperimenti condotti all'interno del sistema, se si è in quiete o in moto rettilineo uniforme.

cos’è la trasformazione di galileo?

è un’equazione che ci permette di calcolare la posizione di un corpo per diversi sistemi di riferimento inerziali.

x(t) = x’(t) + v_O’ t

• x’(t) è la posizione del corpo rispetto l’origine del sistema O’

• v_O’ t è la velocità con la quale il sistema O’ si allontana dal sistema O moltiplicata per lo scalare t.

cos’è un sistema di riferimento inerziale?

è un sistema che si muove rispetto ad un secondo di moto rettilineo uniforme, quindi senza alcuna accelerazione.

Se un sistema si muove di moto rettilineo uniforme (ed è quindi inerziale), tutti gli altri sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso sono inerziali.

quali sono le conseguenze della trasformazione di galileo sulle posizioni?

l’addizione delle velocità; basta derivare tutto rispetto a t

x(t)/dt = x’(t)/dt + v_O’ t/dt

v = v’ + v_O’

l’addizione delle accelerazioni; basta derivare una seconda volta rispetto a t

a = a’

l’accelerazione vista da due sistemi di riferimento è la stessa

ricava la formula della velocità relativa tramite la generalizzazione della trasformazione di galileo

pochi passaggi ma importanti:

• deriva l’equazione generate x = x’ + x_O’ rispetto a t

  v = dx’/dt + v_O’

• vedo x’ = x’u_x + y’u_y + z’u_z

• per cui la derivata

  dx’/dt = (dx’/dt u_x + dy’/dt u_y + dz’/dt u_z) + (x’ du_x/dt + y’ du_y/dt + z’ du_z/dt)

• ricordo la FORMULA DI POISSON, per cui du_x/dt = w x u_x:

  quindi v = v’ + v_O’ + w x x’

dove v’ è la velocità del corpo rispetto O’, v_O’ è la velocità del sistema O’ rispetto al sistema O e v è la velocità del corpo rispetto al sistema O.

w è la velocità angolare

• v’ = velocità relativa

• v_O’ + w x x’ = velocità di trascinamento

ricava la formula dell’accelerazione relativa tramite la generalizzazione della trasformazione di galileo

• derivo due volte x = x’ + x_O’ rispetto a t:

  dv/dt = d/dt(v’ + v_O’ + w x x’) =

  → a = a’ + w x v’ + a_O’ + d(w x x’)/dt

  → a = a’ + w x v’ + a_O’ + dw/dt x x’ + w x dx’/dt

  → a = a’ + w x v’ + a_O’ + α x x’ + w x (v’ + w x x’)

  → a = a’ + a_O’ + w x (w x x’) + α x x’ + 2 w x v’

  
  

• tengo conto che

  d²x’/dt² = a’ = d²x’/dt² u_x + d²y’/dt² u_y+ d²z’/dt² u_z

  e che la derivata di un vettore si svolge con la formula di poisson du_x/dt = w x u_x

• accelerazione relativa

• accelerazione di trascinamento

  dove w x (w x x’) è dovuto alla rotazione di O’x’y’z’ rispetto a Oxyz, α x x’ è dovuto alla variazione del tempo di w

• accelerazione di Coriolis

  unico termine che dipende da v’, ed è sempre ortogonale ad essa.

parla dell’accelerazione di coriolis nel dettaglio

la forza di coriolis è una forza fittizia che avviene quando un oggetto si muove in un sistema di riferimento NON INERZIALE che ruota attorno ad un suo punto. Un osservatore solidale a quel sistema osserverà gli oggetti che dovrebbero muoversi di moto rettilineo uniforme muoversi invece lunto una traiettoria deviata.

EFFETTI SULLA TERRA:

• caduta libera: gli oggetti in caduta libera risentono sia della forza centrifuga che della forza di Coriolis, che ne disturbano il moto. In particolare, gli oggetti non cadono esattamente perpendicolarmente al suolo sottostante, ma la traiettoria viene leggermente spostata verso EST.

• aerei: un aereo che viaggia dall’equatore al polo nord deve tener conto che se compie una traiettoria rettilinea si troverà più a est di quanto immagina. Dall’equatore al polo sud si troverà pù a ovest.

parla del pendolo di Foucault

Foucault allestì un esperimento che si basa sull’accelerazione di Coriolis per dimostrare la rotazione terrestre. Costruì un pendolo lungo quasi 70 metri con all’estremità una sfera di ottone di 28kg appeso al pantheon.

Con il passare del tempo, la traiettoria di oscillazione del pendolo (che in sistemi inerziali sarebbe rimasta identica) è ruotata verso destra, il che coincide con l’effetto di Coriolis nell’emisfero boreale.

dimostra la periodicità di rotazione del pendollo di foucault

in un sistema inerziale avrei:

• L d²θ/dt² + ω² L θ = 0

• d²r/dt² + ω² r = 0

ma dato che la terra non lo è, correggo la seconda equazione:

• d²r/dt² + ω² r’ -2(Ω x v’) = 0 (*)

e introduco la velocità angolare della terra Ω, l’altitudine a (angolo equatore-centro terra-pendolo), l’asse z lungo la congiungente centro-pendolo:

• Ω = Ω cos(pi/2 - a) u_z’ + Ω sin(pi/2 - a) u_y' =

• Ω = Ω sina u_z' - Ω cosa u_y’

• v’ = dx’/dt u_x’ + dy’/dt u_y’ + dz’/dt u_z’

ma non siamo interessati alla componente verticale (perpendicolare al suolo), per cui elimino il termine dz’/dt.

Proietto (Ω x v’) nel piano perpendicolare a z’:

• (Ω x v’) = ((Ω sina u_z’ - Ω cosa u_y’) x (dx’/dt u_x’ + dy’/dt u_y’))

  = dx’/dt Ω sina u_y’ - dy’/dt Ω sina u_x’

Proietto (*) lungo gli assi x’ e y’:

• d₂x’/dt² + ω² x’ + 2 dy’/dt Ω sina = 0

• d₂y’/dt² + ω² ’ - 2 dx’/dt Ω sina = 0

Definisco una variabile complessa ξ data da x’ + iy’ per risolvere le due equazioni sopra:

• d²ξ/dt² + ω² ξ - 2 i dξ/dt Ω sina = 0

Ho ottenuto un’equazione di 2° grado a coefficienti costanti, le cui soluzioni sono:

• ξ(t) = e^λt

λ soddisfa l’eq. caratteristica λ² - λ 2i Ω sina + ω² = 0

• λ = i Ω sina ± sqrt(- Ω² sin²a - ω²)

  = i [Ω sina ± sqrt(Ω² sin²a + ω²) ] trascurabile

  = i Ω sina ± iω

quindi la soluzione precedente sarebbe:

• ξ(t) = e^{iΩ sina t²} (c₁ e^iwt + c₂ e^-iwt)

• verde: termine che causa la lenta rotazione del piano d’oscillazione

• blu: termina che causa l’oscillazione normale del pendolo

Oltre all’oscillazione c’è quindi una rotazione nel piano x’ y’ con periodicità

T = 2 pi / Ω sina

e so che Ω = 2pi/24h

T = 24h / sina

dammi la definizione di baricentro

il baricentro o centro di massa del sistema è il punto geometrico di coordinate

r_CM = sum(m_i r_i) / sum(m_i)

oppure, con la massa totale M

r_G = 1/M * sum(m_i r_i)

la velocità del baricentro è

v_CM = sum(m_i v_i) / M = p/M

arriva ad enunciare la prima eq. cardinale della dinamica

la velocità del baricentro è

v_CM = sum(m_i v_i) / M = p/M

differenziando rispetto al tempo:

dp/dt = M a_G = sum(m_i a_i) = F_i (*)

abbiamo ricavato l’equazione m a_i = F_i , ma conviene vedere la forza totale come una somma di forza esterna al sistema F_i^E e una fora interna dovuta alle particelle circostanti F_i^I.

F_i = F_i^I + F_i^E

Per il 3° principio di newton per ogni azione del punto i-esimo sul punto j-esimo F_ji corrisponde una reazione uguale e contraria del punto j-esimo esercitata sul punto i-esimo F_ij = -F_ji

Essendo la somma vettoriale INDIPENDENTE dal punto di applicazione, abbiamo che F_i^I = sum_i=/=j (F_ij) e che quindi

sum_i=1^N(F_i^I) = sum_{i,j = 1}^N(F_ij)

DIMOSTRAZIONE (1 ver)

sum_i<j(F_ij) + sum_j<i(F_ij) =

= sum_i<j(F_ij) - sum_j<i(F_ji)

dato che la somma è indipendente dal nome delle variabili su cui si somma, posso scambiare la i e la j nel secondo termine:

sum_i<j(F_ij) - sum_i<j(F_ij)

DIMOSTRAZIONE (2 ver)

fisso una coppia i, j e considero solo le forze che coinvolgono i e j

F_ij + F_ji = (3° princ) = F_ij - F_ij = 0

quindi (*) sarebbe

dp/dt = sum(m_i a_i) = (2° princ) = sum(F_i^I + F_i^E) = sum F_i^E = F^E

cosa dice il teorema del moto del baricentro? Qual è una sua conseguenza?

il baricentro si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne.

La sua conseguenza afferma che per conoscere il moto del baricentro è sufficiente conoscere le forze esterne che agiscono su di esso.

come si effettua il passaggio da un insieme di elementi discreti a un insieme continui di infinite particelle?

basta scomporre il volume in moltissimi volumetti infinitesimi e passare da sommatorie a integrali:

lim_ΔV→0 sum(ΔV_i ρ(r_i) r_i) = 1/M ∫ ρ(r_i) r_i dV

spiega come arrivare alla seconda equazione cardinale della dinamica

Ho un polo O e un vettore r_O che descrive le coordinate di O rispetto l’origine del sistema.

Il momento angolare rispetto ad O è dato da

• L_o = sum L_Oi = sum (OP_i x p_i)

derivo:

• dL_o/dt = sum d/dt(OP_i x p_i) =

  = sum (dOP_i/dt* p_i + OP_i *dp_i/dt) (#)

• d/dt OP_i = v_i - v_o

• (#) diventa sum (v_i - v_o) x p_i + OP_i x F_i

Ma v_i x p_i = 0 perché paralleli, quindi

• -v_o x p_i + OP_i x (sum(F_i^I + F_i^E))

dimostro che posso eliminare le forze interne:

sum_i,j OP_i F_ij = sum_i<j OP_i x F_ij + sum_j<i OP_i x F_ij

adesso cambio i con j e j con i

= sum_i<j OP_i x F_ij + sum_i<j OP_i x F_ij = (1° parte 3° princ)

= sum_i<j (OP_i x F_ij - OP_j x F_ij) = sum_i<j (OP_i - OP_j) x F_ij =

= sum_i<j P_jP_o x F_ij = 0 perché Fij // P_jP_i

Quindi, riprendendeo il discorso di prima

• dL_o/dt = - v_o x p_i + OP_i x (sum(F_i^I + F_i^E)) =

  = - v_o x p_i + sum(OP_i x F_i^E) = -v_o x p + M^E

Questa equazione si semplifica con solo dL_o/dt = M^E se:

• O è fisso (v_o = 0)

• il baricentro è fisso (p = mv_CM = 0)

• v_o // v_CM

• O corrisponde con il centro di massa

spiega la differenza tra ‘nel CM’ e ‘del CM’ e come preferisce distinguerli il prof

una scrittura del tipo v* indica nel CM, ovvero la velocità osservata dal sistema del CM.

una scrittura del tipo v_CM indica la velocità complessiva del CM visto dall’esterno, e viene chiamato del CM

spiega e dimostra il teorema di Konig per il momento angolare

connette il momento angolare rispetto al polo O e quello rispetto al CM. Il teorema ci dice infatti che:

L_o = r_CM x p + (L_CM)*

il momento angolare rispetto un arbitrario polo O = momento angolare del CM + momento angolare rispetto al CM.

DIMOSTRAZIONE

so che r_i = r_i* + r_CM e che v_i = v_i* + v_CM

L_o = sum (r_i x m_i v_i) =

= sum ((r_i* + r_CM) x m_i (v_i* + v_CM))

= sum (r_i* x m_i v_i*) + r_CM x sum(m_i v_i*) + sum (m_ir_i*) x v_CM + r_CM x Mv_CM

si eliminano perche p* = 0 e m_ir_i* = 0

• sum (r_i* x m_i v_i*) = L_CM*

• r_CM x Mv_CM = r_CM x p

Ho dimostrato che L_o = L_CM* + r_CM x p

spiega e dimostra il teorema di Konig per l’energia cinetica

l’energia cinetica totale K è la somma dell’energia cinetica DEL CM e dell’energia cinetica NEL CM

K = ½ M v_CM² + K*

DIMOSTRAZIONE

K = sum ( ½ m_i v_i v_i) = sum ( ½ m_i (v_i* + v_CM) (v_i* + v_CM))

= ½ sum (m_i v_i*² ) + ½ v_CM sum(m_i v_i*) + ½ v_CM sum(m_i v_i*) + ½ sum(m_i v_CM * v_CM)

si eliminano perché p* = 0

• ½ sum (m_i v_i*² ) = K*

• ½ sum(m_i v_CM * v_CM) = ½ M v²_CM

dammi la definizione di corpo rigido

Un corpo si dice rigido se la distanza tra qualsiasi sua coppia di punti è fissa. Ciò è dovuto ai legami interatomici che tengono fermi gli atomi.

quanti gradi di libertà ha un corpo rigido?

Fissato un punto A nel corpo rigido, abbiamo 3 coordinate (xyz).

Fissato un secondo punto B esso ha 2 gradi di libertà, perché ha distanza fissa da A.

Fissato un terzo punto C esso ha 1 grado di libertà, perché può solo che ruotare attorno la congiungente A-B.

Quindi in totale un corpo rigido ha 3 + 2 + 1 = 6 gradi di libertà

quali sono i tipi di moto che può compiere un corpo rigido? Dimostra che la velocità angolare è la stessa in tutto il corpo

in generale il moto è una successione di coppie rotazione + traslazione infinitesime. In generale l’asse di rotazione cambia nel tempo, infatti viene detto asse di rotazione ISTANTANEO.

Quindi basta conoscere la velocita e la velocità angolare rispetto un asse del corpo per conoscere il suo moto in un istante.

La velocità dipende dalla posizione della particella del corpo rispetto all’asse di rotazione, ma la velocità angolare no perché descrive l’angolo spazzato in un certo tempo.

DIMOSTRAZIONE

Scelgo due punti all’interno del corpo, P e Q, mentre O è il punto per cui passa l’asse di rotazione, allora:

• v_P = v_o + w x OP

• v_Q = v_o + w x OQ

• v_P - v_Q = w x (OP-OQ = w x QP

  quindi v_P = v_Q + w x QP

per cui la velocità angolare è la stessa anche se ho scelto l’asse che passa per Q.

posizione del centro di massa per un corpo rigido?

dato che ρ = dm/dV e che m = ∫dm = ∫ρdV

r_CM = ∫rdm/∫dm = ∫rρdV/ ∫ρdV = 1/m ∫rρdV

se il corpo è OMOGENEO, quindi con ρ costante:

r_CM = ρ/m ∫rdV

quali sono le condizioni necessarie affinché avvenga l’equilibrio?

la somma vettoriale di tutte le forze esterne deve essere nulla, così come la somma di tutti i momenti delle forze esterni

quanti gradi di libertà ci sono nelle rotazioni attorno ad un asse fisso?

quando fisso un punto dell’asse perdo tre gradi di libertà, mentre se ne fisso un’altro (andando quindi a determinare l’asse di rotazione) ne perdo altri 2.

Dai sei gradi di libertà iniziali ne tolgo 5, per cui servirà un’unica equazione per determinare il moto di rotazione attorno ad un asse fisso.

rotazioni intorno ad un asse fisso: determina il momento assiale

uso la seconda equazione cardinale dL_o/dt = M_o

moltiplicandola per il versore u_z ottengo

dL_z/dt = dL_o u_z/dt = M_o u_z = M_z

Mi ricavi la seconda equazione cardinale della dinamica per le rotazioni attorno a un asse fisso (z), partendo dal calcolo del momento angolare del singolo elemento di massa dm signorinaaaaaaaaaaaaa

rotazione di un punto P con asse di rotazione z e origine sopra la circonferenza tracciata da P.

So che ogni elemento ruota con velocità v = w x R (w perp. R)

Inoltre il momento angolare di dm è

• dL = r x p = r x dm v = r dm v u_T = r dm w R u_T

u_T = versore perpendicolare a r e v

• dL_z = dL u_z = r dm w R u_T ° u_z ° 1 ° 1*cos(angolo compreso tra le due u)= r dm w R cos(pi/2 - θ) =

  r dm w R sinθ = dm w R²

integro:

• ∫dL_z = L_z = ∫ w R² dm = ∫ w (x² + y²) ρdV = I_z w

derivando:

dL_z/dt = I_z d²θ/dt² = I_z α = M_z

(non si derviva I_z perché costante rispetto al tempo.)

Nel caso di un corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso, come si muove il centro di massa e da quali forze è determinato il suo moto?

il moto del CM è determinato perché dista R_CM dall’asse di rotazione, per cui:

• a_CM,T = α R_CM

• a_CM,N = w² R_CM = v²_CM / R_CM

• v_CM = w R_CM