Geometria e Algebra Lineare - Flashcard di Vocabolario

Flashcard di vocabolario e definizioni fondamentali basate sugli appunti del corso di Geometria e Algebra Lineare.

Matrice reale $m \times n$

Una tabella di numeri reali disposti secondo $m$ righe ed $n$ colonne, dove $m, n \in \mathbb{N}^+$.

Somma di matrici

Operazione definita solo per due matrici dello stesso tipo $A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,n}$, data da $A + B = (a_{ij} + b_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,n}$.

Prodotto di una matrice per un numero reale

Operazione definita per $c \in \mathbb{R}$ e $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,n}$ come $c \cdot A = (c \cdot a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,n}$.

Matrice nulla

L'elemento neutro della somma tra matrici, indicato con $0 \in \mathcal{M}_{m,n}$, che ha tutti i coefficienti uguali a $0$.

Combinazione lineare di matrici

Espressione del tipo $c_1 A_1 + c_2 A_2 + \dots + c_k A_k$, dove $A_1, \dots, A_k \in \mathcal{M}_{m,n}$ e $c_1, \dots, c_k \in \mathbb{R}$, il cui risultato è una matrice dello stesso tipo.

Matrice trasposta

Data $A \in \mathcal{M}_{m,n}$, la trasposta è la matrice $^t A \in \mathcal{M}_{n,m}$ ottenuta scambiando tra loro le righe e le colonne di $A$.

Matrice quadrata

Una matrice $n \times n$ avente lo stesso numero di righe e di colonne, appartenente a $\mathcal{M}_n$.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata $A \in \mathcal{M}_n$ tale che $^t A = A$, ovvero $a_{ij} = a_{ji}$ per ogni $i, j$.

Matrice antisimmetrica

Una matrice quadrata $A \in \mathcal{M}_n$ tale che $^t A = -A$, ovvero $a_{ij} = -a_{ji}$ per ogni $i, j$ (con elementi sulla diagonale tutti nulli).

Matrice triangolare superiore

Una matrice quadrata $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n$ in cui tutti gli elementi sotto la diagonale sono nulli ($a_{ij} = 0$ per ogni $i > j$).

Matrice diagonale

Una matrice quadrata $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n$ in cui tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli ($a_{ij} = 0$ per ogni $i \neq j$).

Moltiplicazione riga per colonna

Operazione tra $A \in \mathcal{M}_{m,n}$ e $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ definita solo se $n = p$, che restituisce una matrice $A \cdot B = (c_{ij}) \in \mathcal{M}_{m,q}$ dove $c_{ij}$ è il prodotto della $i$--esima riga di $A$ per la $j$--esima colonna di $B$.

Matrice idempotente

Una matrice quadrata $A \in \mathcal{M}_n$ tale che $A^2 = A$.

Matrice nilpotente

Una matrice quadrata $A \in \mathcal{M}_n$ per cui esiste $k \in \mathbb{N}$ tale che $A^k = 0$.

Matrice unità

La matrice diagonale di ordine $n$, indicata con $I_n$, avente tutti $1$ sulla diagonale principale.

Matrice invertibile

Una matrice quadrata $A \in \mathcal{M}_n$ per cui esiste $B \in \mathcal{M}_n$ tale che $AB = BA = I_n$, dove $B$ è detta matrice inversa di $A$ e si indica con $A^{-1}$.

Gruppo generale lineare $GL(n, \mathbb{R})$

L'insieme di tutte le matrici quadrate $n \times n$ invertibili a coefficienti reali.

Sottomatrice complementare

Data $A \in \mathcal{M}_n$ con $n > 1$, la sottomatrice $A^{ij}$ è la matrice $(n-1) \times (n-1)$ che si ottiene da $A$ cancellando la $i$--esima riga e la $j$--esima colonna.

Cofattore

Il valore $(-1)^{i+j} \det(A^{ij})$ associato all'elemento $a_{ij}$ di una matrice quadrata $A$.

Regola di Sarrus

Metodo pratico per il calcolo del determinante, valido esclusivamente per matrici $3 \times 3$.

Teorema di Laplace

Teorema che afferma che il determinante di una matrice $A$ può essere calcolato sviluppando lungo una qualsiasi riga o colonna mediante la somma dei prodotti dei singoli elementi per i rispettivi cofattori.

Teorema di Binet

Teorema riguardante il determinante del prodotto di due matrici quadrate $A, B \in \mathcal{M}_n$, che stabilisce $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$.

Rango di una matrice

Il più grande numero $p$ per cui esiste una sottomatrice di $A$ di ordine $p$ con determinante non nullo.

Orlato di una sottomatrice

Data una sottomatrice $B$ di ordine $k \times k$ di $A$, è ogni sottomatrice $(k+1) \times (k+1)$ di $A$ ottenuta aggiungendo a $B$ una riga e una colonna.

Teorema degli orlati

Teorema che afferma che se una sottomatrice $B$ di ordine $p$ di $A$ ha determinante diverso da $0$ e tutti i suoi orlati hanno determinante pari a $0$, allora $\text{rk}(A) = p$.

Indipendenza lineare

Proprietà di un insieme di elementi (matrici o vettori) per cui l'unica loro combinazione lineare che dà l'elemento nullo è quella con tutti i coefficienti uguali a $0$.

Sistema lineare reale

Un sistema di $m$ equazioni di primo grado in $n$ incognite a coefficienti reali.

Sistema omogeneo associato

Sistema identico a quello di partenza ma con tutti i termini noti posti uguali a $0$, che ammette sempre almeno la soluzione banale.

Teorema di Cramer

Teorema che garantisce che un sistema lineare quadrato $n \times n$ ammette un'unica soluzione se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero ($\det(A) \neq 0$).

Teorema di Rouché-Capelli

Teorema che stabilisce che un sistema lineare $AX = B$ ha almeno una soluzione se e solo se il rango della matrice incompleta $A$ è uguale al rango della matrice completa $C = (A|B)$.

Pivot di una riga

Il primo elemento non nullo di una riga in una matrice a scalini.

Matrice a scalini

Matrice in cui, se una riga è nulla, tutte le righe sottostanti sono nulle, e sotto il pivot di ciascuna riga ci sono solo elementi nulli.

Spazio vettoriale

Un insieme $V$ dotato delle operazioni di somma interna e prodotto per uno scalare che soddisfano gli 8 assiomi fondamentali.

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme non vuoto $W$ di uno spazio vettoriale $V$ chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare (ovvero chiuso rispetto alle combinazioni lineari).

Span (Sottospazio generato)

L'insieme di tutti i vettori che si ottengono come combinazioni lineari di un insieme di vettori $v_1, \dots, v_k$, che costituisce il più piccolo sottospazio vettoriale contenente tali vettori.

Base di uno spazio vettoriale

Una $n$--upla ordinata $(v_1, \dots, v_n)$ di vettori di $V$ che sono sia linearmente indipendenti sia generatori di $V$.

Applicazione lineare

Una funzione $T: V \to W$ tra due spazi vettoriali che è additiva ($T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)$) e omogenea ($T(c \cdot v) = c \cdot T(v)$).

Isomorfismo

Un'applicazione lineare biunivoca tra due spazi vettoriali.

Dimensione di uno spazio vettoriale

Il numero $n$ di vettori che compongono una qualsiasi base di uno spazio vettoriale a dimensione finita $V$.

Formula di Grassmann

Formula che lega le dimensioni di due sottospazi vettoriali $U$ e $W$: $\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W)$.

Sottospazio affine

Un sottoinsieme di $V$ del tipo $v_0 + W = \{v_0 + w \mid w \in W\}$, dove $W$ è un sottospazio vettoriale detto giacitura.

Nucleo di un'applicazione lineare

Il sottospazio vettoriale $\text{Ker}(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0_W\}$ formato da tutti i vettori la cui immagine tramite $T$ è il vettore nullo.

Immagine di un'applicazione lineare

Il sottospazio vettoriale $\text{Im}(T) = \{T(v) \mid v \in V\} \subseteq W$.

Teorema delle dimensioni

Teorema per un'applicazione lineare $T: V \to W$ che stabilisce la relazione $\dim(V) = \dim(\text{Ker}(T)) + \dim(\text{Im}(T))$.

Endomorfismo

Un'applicazione lineare $T: V \to V$ definita dallo spazio vettoriale $V$ in se stesso.

Matrici simili

Due matrici $A, B \in \mathcal{M}_n$ per cui esiste una matrice invertibile $M \in \mathcal{M}_n$ tale che $B = M^{-1} A M$.

Autovettore ed Autovalore

Un vettore non nullo $v \in V$ è autovettore di $T$ se $T(v) = \lambda v$ per un certo scalare $\lambda \in \mathbb{R}$, detto autovalore associato.

Autospazio

L'insieme $E(\lambda) = \{v \in V \mid T(v) = \lambda v\}$, costituito da tutti gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda$ unito al vettore nullo.

Polinomio caratteristico

Il polinomio $P(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$ nella variabile $\lambda$, le cui radici reali sono gli autovalori di $A$.

Molteplicità algebrica e geometrica

La molteplicità algebrica $m_a(\lambda)$ è il numero di volte che $\lambda$ è radice del polinomio caratteristico; la molteplicità geometrica $m_g(\lambda)$ è la dimensione dell'autospazio $\dim(E(\lambda))$.

Criterio di Cartesio

Criterio per cui un polinomio a radici tutte reali ha tante radici positive quante sono le variazioni di segno nella successione dei coefficienti non nulli.

Spazio duale

Lo spazio vettoriale $V^* = \mathcal{L}(V, \mathbb{R})$ costituito da tutte le applicazioni lineari (forme lineari) da $V$ a $\mathbb{R}$.

Prodotto scalare canonico

Operazione bilineare, simmetrica e definita positiva definita su $\mathbb{R}^n$ come $\langle v, w \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2 + \dots + v_n w_n$.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Disuguaglianza che stabilisce che per ogni coppia di vettori $v, w$ vale $|\langle v, w \rangle| \le \|v\| \cdot \|w\|$.

Procedimento di Gram-Schmidt

Algoritmo che trasforma una base qualsiasi di uno spazio vettoriale con prodotto scalare in una base ortonormale.

Complemento ortogonale

Per un sottospazio $W \subseteq \mathbb{R}^n$, è il sottospazio $W^\perp = \{v \in \mathbb{R}^n \mid \langle v, w \rangle = 0 \text{ per ogni } w \in W\}$.

Matrice ortogonale

Una matrice quadrata $M \in \mathcal{M}_n$ tale che $^t M \cdot M = I_n$, ovvero la cui trasposta coincide con la sua inversa ($M^{-1} = ^t M$).

Teorema Spettrale

Teorema che afferma che un endomorfismo $T$ su uno spazio euclideo ammette una base ortonormale di autovettori se e solo se è simmetrico.

Isometria

Un endomorfismo $T$ che conserva il prodotto scalare, ovvero $\langle T(v), T(w) \rangle = \langle v, w \rangle$ per ogni coppia di vettori.

Fascio proprio di rette

L'insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto fissato $Q$.

Ellisse

Luogo geometrico dei punti del piano $P$ per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi $F_1, F_2$.

Iperbole

Luogo geometrico dei punti del piano $P$ per cui è costante in valore assoluto la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi $F_1, F_2$.

Parabola

Luogo geometrico dei punti del piano $P$ equidistanti da un punto fisso detto fuoco $F$ e da una retta fissa detta direttrice $r$.