ViS teorija

Permutacije, primjer

poredak konačnog broja objekata u redoslijed → NEMA PONAVLJANJA

n= broj objekata, n!= broj permutacija poredaka

n! = n (n-1)(n-2)* … 3× 2×1

primjer. Koliko ima 4-znamenkastih brojeva od znamenaka skupa S=(1,2,3,4), pri čemu se znamenke ne smiju ponavljati ?

n=4

broj 4-znamenkastih brojeva je 4= 4×3×2×1= 24

Permutacije s ponavljanjem, primjer

Imamo familiju od n objekata, od čega je n1 objekata prve vrste, n2 objekata 2. vrste. Broj različitih poredaka je n! / n1! n2! *… * nk! , MOGU SE PONAVLJATI

primjer. Na koliko načina je moguće nanizati 4 zelene, 5 plavih i 6 crvenih perlica?

n=4+5+6= 15

n1=4, n2=5, n3=6

= 15! / 4! 5! 6! = 630 630

Varijacije, primjer

NEMA PONAVANJA, poredak bilo kojih k objekata (od ukupno n različitih n objekata) u redoslijed duljine k.

Broj takvih poredaka je n(n-1)(n-2) … (n-k+1)

1<= k <= n, n uvijek veći od k

ako je n=k → permutacija

primjer. u kutiji se nalazi 6 loptica različitih boja. Na koliko načina možemo razdijeliti 3 loptice u 5 kutija ako se u svaku kutiju može staviti maks. 1 loptica?

n=5

k=3

6(6-1) (6-3+1)

Varijacije s ponavljanjem, primjer

MOŽE SE PONAVLJATI, poredak bilo kojih k objekata u redoslije duljine k

n je ukupan broj objekata

broj takvih poredaka je n na k

n>k, k>=1

razlika od varijanci bez ponavljanje → moguće je vraćanje u kutiju, u kutiji ne mora biti samo jedan objekt

primjer. iz kutije sa 7 kuglica razl. boja izvlačimo dvije kuglice jednu po jednu , s vraćanjem ponovno u kutiju. Koliko razl. uzoraka možemo dobiti tim postupkom ako je poredak bitan?

n=7

k=2

7 na kvadrat = 49

kombinacije, primjer, svojstva

NEMA PONAVLJANJA, Imamo skup od n objekata, kombinacija je bilo koji podskup tog skupa veličine k

Takvih podskupova (ima n povrh k)= n!/ k! (n-k)!

primjer. skup 50 proizvoda ima 10 neispravih . na koliko nacina mozemo formirati uzorak koji sadrzi 5 ispravnih i 3 neispravna proizvoda?

n1=10 k1=3, n2=40 k2=5

50 povrh 8= 40 povrh 5 × 10 povrh 3 = 78960690 načina

kombinacije s ponavljanje, primjer

MOGU SE PONAVLJATI, imamo n različitih spremnika, kombinacija s ponavljanjem je bilo koji raspored k objekata u n spremnika , spremnike određujemo s n-1 pregradom

broj mogućih rasporeda je

vjerojatnost a priori, primjer, svojstva

omjer broja povoljnih ishoda (koji ulaze u promatrani događaj) i broja svih ishoda (nΩ )

primjer.

Bacamo dvije igraće kocke, kolika je vjerojatnost da će pasti:

a) barem jedna 4?

b) broj djeljiv s dva ili tri?

a) A=pala je barem jedna četvorka

nΩ = 6 na kvadrat = 36 je ukupni broj

Vjerojatnost od A =nA/nΩ =11/36

b)B=pao je broj djeljiv s 2 ili 3

Bc= nije pao broj djeljiv s 3 ili 2

vjerojatnost od Bc = 4/36 = 1/9

vjerojatnost od B = 1-Bc = 8/9

uvjetna vjerojatnost, primjer

geometrijska vjerojatnost, primjer

nabroji slucajne varijable

diskretne, binomna, poissonova, hipergeometrijska, geometrijska, neprekidna, normalna (gaussova)

Diskretne slucajne varijable

primjer diskretne slučajne varijable

binomne slučajne varijable

primjer binomne slucajne varijable

poissonova slučajne varijabla

poissonova slučajna varijabla primjer

hipergeometrijska slučajna varijabla

primjer hipergeometrijske slučajne vafijable

geomterijska slučajna varijabla

primjer geometrijske slučajne varijable

neprekidne slučajne varijable

normalna (gaussova) slučajna varijabla