Géométrie Euclidienne et Non Euclidienne

Flashcards de vocabulaire et concepts clés basées sur le cours de Géométrie Euclidienne et Non Euclidienne (Licence de Mathématiques, semestre 2, Université du Luxembourg).

Cinquième axiome d'Euclide (version de Playfair)

Par tout point extérieur à une droite passe une unique droite parallèle à la première droite.

Géométrie selon Felix Klein

Consiste en un espace $X$ et un ensemble de transformations $G$, appelé groupe de symétries, où $G$ ne distingue aucun point privilégié dans $X$. Par exemple, la géométrie euclidienne est le couple $(X, G)$ où $X = \text{R}^n$ et $G = \text{O}(n) \rtimes \text{R}^n$.

Ellipse de Steiner

Unique ellipse tangente à chacun des côtés d'un triangle $ABC$ exactement en leurs milieux.

Produit scalaire

Forme bilinéaire symétrique définie positive $\text{<} \text{·}, \text{·} \text{>}$ sur un espace vectoriel réel $E$. Elle satisfait la linéarité, la symétrie, la positivité ($\text{<}x, x\text{>} \text{≥} 0$) et la définition ($\text{<}x, x\text{>} = 0 \text{ ⟺ } x = 0$).

Espace vectoriel euclidien

Une paire $(E, \text{<} \text{·}, \text{·} \text{>})$, où $E$ est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Norme euclidienne

Application $\text{∥} \text{·} \text{∥} : E \rightarrow \text{R}$ définie par $\text{∥}x\text{∥} = \text{√}\text{<}x, x\text{>}$. Elle est positive, homogène ($\text{∥}λx\text{∥} = \text{|}λ\text{|}\text{∥}x\text{∥}$) et vérifie l'inégalité triangulaire.

Inégalité de Cauchy–Schwarz

Pour tous $x, y \text{ ∈ } E$, on a $\text{|}\text{<}x, y\text{>}\text{|} \text{≤} \text{∥}x\text{∥}\text{∥}y\text{∥}$. L'égalité a lieu si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Angle entre deux vecteurs

Unique nombre $θ \text{ ∈ } [0, π]$ tel que $\text{cos}(θ) = \frac{\text{<}x, y\text{>}}{\text{∥}x\text{∥}\text{∥}y\text{∥}}$ pour $x, y$ non nuls.

Famille orthonormale

Famille $(v_1, \text{...}, v_k)$ telle que les vecteurs sont orthogonaux deux à deux ($v_i \text{ ⊥ } v_j$ pour $i \neq j$) et de norme unitaire ($\text{∥}v_i\text{∥} = 1$).

Principe d'orthogonalisation de Gram-Schmidt

Procédé permettant de transformer une famille libre $(u_1, \text{...}, u_k)$ en une unique famille orthonormée $(v_1, \text{...}, v_k)$ telle que $\text{Vect}(u_1, \text{...}, u_m) = \text{Vect}(v_1, \text{...}, v_m)$.

Représentation de Riesz

Pour toute forme linéaire $φ \text{ ∈ } E^*$, il existe un unique $x \text{ ∈ } E$ tel que $φ(y) = \text{<}x, y\text{>}$ pour tout $y \text{ ∈ } E$.

Distance euclidienne

Application $d(x, y) = \text{∥}y - x\text{∥} = \text{√}(y_1 - x_1)^2 + \text{...} + (y_n - x_n)^2$. Elle définit l'espace métrique $E^n = (\text{R}^n, d)$.

Relation de Chasles

Pour tous points $A, B, C \text{ ∈ } E^n$, on a $\text{AB} + \text{BC} + \text{CA} = 0$ (sous forme vectorielle $\text{→}\text{AB} + \text{→}\text{BC} + \text{→}\text{CA} = \text{→}0$).

Géodésique de $E^n$

Application $γ : \text{R} \rightarrow E^n$ telle que $d(γ(t), γ(s)) = \text{|}t - s\text{|}$. Une droite de $E^n$ est l'image d'une géodésique.

Théorème de Pythagore

Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ si et seulement si $d(A, C)^2 = d(A, B)^2 + d(B, C)^2$.

Points constructibles

Points obtenus à partir de deux points initiaux $O(0,0)$ et $A(1,0)$ par intersections successives de droites (tracées à la règle) et de cercles (tracés au compas).

Nombres constructibles

L'ensemble des nombres $α$ tels que le point $(α, 0)$ est constructible. C'est un sous-corps de $\text{R}$ stable par addition, multiplication, inversion et racine carrée.

Théorème de Wantzel

Si $α \text{ ∈ } \text{R}$ est constructible, alors c'est un nombre algébrique dont le degré est une puissance de 2 ($2^n$).

Isométrie vectorielle

Application linéaire $f : E \rightarrow E$ qui préserve le produit scalaire, soit $\text{<}f(x), f(y)\text{>} = \text{<}x, y\text{>}$. L'ensemble de ces applications forme le groupe orthogonal $\text{O}(E)$.

Symétrie glissée

Isométrie du plan résultant de la composition d'une réflexion par rapport à une droite $Δ$ et d'une translation de vecteur $v$ parallèle à cette droite.

Action de groupe

Application $G \times X \rightarrow X$ telle que $e \text{ · } x = x$ et $(gg') \text{ · } x = g \text{ · } (g' \text{ · } x)$. On parle de version algébrique ou de morphisme $φ : G \rightarrow \text{S}(X)$ (version géométrique).

Stabilisateur

Pour un point $x \text{ ∈ } X$, c'est le sous-groupe $G_x = \text{\{}g \text{ ∈ } G \text{ | } g \text{ · } x = x\text{\}} \text{ ⊂ } G$.

Inversion de cercle

Transformation conforme $i : S^2 \rightarrow S^2$ de centre $A$ et de puissance $r$ qui envoie $M$ sur $M'$ tel que $M'$ est sur la demi-droite issu de $A$ passant par $M$ et $d(A, M) \times d(A, M') = r^2$.