Meccanica Aerospaziale: Calcolo Vettoriale, Cinematica e Dinamica

Flashcard di terminologia tecnica basate sulle lezioni di meccanica aerospaziale, focalizzate su calcolo vettoriale, cinematica, vincoli e dinamica lagrangiana.

Vettore

Elemento matematico identificato da modulo, direzione e verso, rappresentato analiticamente dalle sue coordinate $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}$.

Prodotto scalare

Applicazione che associa a due vettori un numero reale definito come $\vec{v} \cdot \vec{w} = v w \cos(\alpha)$; il risultato è nullo se i vettori sono perpendicolari.

Prodotto vettoriale

Operazione tra due vettori il cui modulo equivale all'area del parallelogramma formato dai vettori stessi e la cui direzione è perpendicolare al piano che li contiene.

Velocità

Derivata del vettore posizione rispetto al tempo $\vec{v} = \frac{d\vec{P}(t)}{dt}$, risultando sempre tangente alla traiettoria curvilinea.

Accelerazione

Derivata della velocità rispetto al tempo, composta dalla somma di un vettore tangenziale $\ddot{s} \vec{\tau}$ e di un vettore normale $\frac{\dot{s}^2}{\rho} \vec{n}$.

Centro Istantaneo di Rotazione (CIR)

Punto $C$ caratterizzato da velocità nulla istantanea, tale che la velocità di ogni altro punto $A$ del corpo rigido rispetti la relazione $\vec{v}_A = \vec{\omega} \wedge (A - C)$.

Vincoli olonomi

Limitazioni ai movimenti di un sistema le cui equazioni dipendono esclusivamente dalle posizioni dei punti e dal tempo, nella forma $f_j(P_1, \dots, P_N, t) = 0$.

Vincolo di rotolamento puro

Condizione cinematica che impone velocità nulla istantanea al punto di contatto tra un corpo che rotola e la sua guida, ovvero $\vec{v}_C = 0$.

Quantità di moto

Grandezza vettoriale definita per un sistema come il prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa, $\vec{Q} = m_{tot} \vec{v}_G$.

Centro di massa (G)

Punto la cui posizione è definita come $(G - O) = \frac{\sum m_i (P_i - O)}{\sum m_i}$ e che si muove seguendo la risultante delle forze esterne applicate.

Momento di inerzia

Grandezza scalare che misura la resistenza di un sistema alla rotazione rispetto a un asse, definita per un sistema discreto come $I = \sum m_i r_i^2$.

Matrice di inerzia

Matrice simmetrica che raccoglie i momenti di inerzia e i prodotti di inerzia di un corpo, utilizzata per calcolare il momento della quantità di moto nello spazio come $\vec{\Gamma}_O = \mathbf{I}_O \vec{\omega}$.

Energia cinetica (T)

Grandezza scalare definita come $T = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2$; per un corpo rigido può essere espressa tramite il teorema di Konig come $T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot \vec{\Gamma}_G$.

Spostamento virtuale

Spostamento infinitesimo $\delta P$ compatibile con i vincoli del sistema, calcolato mantenendo i vincoli esterni fissi ("congelati") al tempo $t$.

Componente Lagrangiana della sollecitazione

Grandezza indicata con $Q_k$ che rappresenta il lavoro virtuale per unità di spostamento della coordinata libera $q_k$, definita come $Q_k = \sum \vec{F}_i \cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k}$.

Lagrangiana (L)

Funzione definita come la somma dell'energia cinetica e del potenziale delle forze conservative, $L = T + U$, alla base delle equazioni di Lagrange della seconda forma.

Momento cinetico generalizzato

Grandezza indicata con $p_k$, definita come la derivata parziale della funzione Lagrangiana rispetto alla velocità generalizzata, $p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$.

Funzione di Hamilton (H)

Funzione definita come $H = \sum p_k \dot{q}_k - L$; se non dipende esplicitamente dal tempo, essa costituisce un integrale primo del moto.

Velocità areolare

Area spazzata dal raggio vettore nell'unità di tempo, definita come $\dot{A} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}$; rimane costante nel caso di moti influenzati da forze centrali.

Equazioni di Eulero

Sistema di equazioni differenziali che descrivono i moti rotatori di un corpo rigido in una terna solidale principale, ad esempio $A \dot{p} + (C - B) qr = M_x$.