Chapter 10 Exercises: Proofs II (Symbolic Logic)

Implication rules can ONLY be applied to whole lines, whereas replacement rules can be used on whole lines AND parts of lines.

Replacement rules represent logical equivalences, whereas implication rules do not. 

What are the two key differences between the “replacement” rules introduced in this chapter and the “implication” rules in the preceding chapter?

• Double Negation

• Commutativity

• Associativity

• Demorgan’s Rule

• Distribution

• Transposition

• Material Implication

• Exportation

• Tautology

• Material Equivalence

What rules of replacement are introduced in this chapter?

True

True or False: The step below is a correct application of the commutativity rule.

1. (A ● B) ⊃ C

2. (B ●  A) ⊃ C 1, Com

True

True or False: The step below is a correct application of the double negation rule.

1. (A ● B) ⊃ ∼∼C

2. (A ● B) ⊃ C 1, DN

False

True or False: The step below is a correct application of DeMorgan’s rule.

1. ∼(P ⊃ R)

2. ∼P ● ∼R 1, DM

True

True or False: The proof sequence below is correct.

1. ∼(P ● Q)

2. ∼P ∨ ∼Q 1, DM

3. P ⊃ ∼Q 2, Impl

4. ∼∼Q ⊃ ∼P 3, Trans

False

• Must ALL be wedges or ALL dots

True or False: The step below is a correct application of the associativity rule.

1. S ● (T ∨ R)

2. (S ● T) ∨ R               1, Assoc

True

True or False: The step below is a correct application of the distribution rule.

1. S ● (T ∨ R)

2. (S ● T) ∨ (S ● R)      1, Dist

False

True or False: There is no error in the proof sequence below.

1. ∼A ∨ ∼B

2. A ≡ B

3. (A ● B) ● (∼A ● ∼B) 2, Equiv

4. ∼(A ● B) 1, DM

False

True or False: The step below is valid.

1. A ⊃ A

2. A 1, Taut

True

True or False: The step below is valid.

1. (R ● S) ⊃ P

2. R ⊃ (S ⊃ P) 1, Exp

1. ∼(J ∨ K)

2. J ∨ (M ⊃ O)

3. ∼O              /∼M

4. ∼J ● ∼K          1, DM

5. ∼J                  4, Simp

6. M ⊃ O 2, 5 DS

7. ∼M 3, 6 MT

Construct a proof for the argument below:

1. ∼(J ∨ K)

2. J ∨ (M ⊃ O)

3. ∼O              /∼M

1. A ∨ (B ∨ C)

2. ∼(D ∨ C)              / B ∨ A

3. ∼D ∼C                  2, DM

4. (A ∨ B) ∨ C          1, Assoc

5. ∼C                         3, Simp

6. A ∨ B                     4, 5 DS

7. B ∨ A                     6, Com

Construct a proof for the argument below:

1. A ∨ (B ∨ C)

2. ∼(D ∨ C)            /B ∨ A

1. R ⊃ (K ● S)

2. R ∨ R

3. (S ● K) ⊃ ∼∼T /   T ∨ M

4. R                          2, Taut

5. K ● S                   1, 4 MP

6. S ● K                    5, Com

7. ∼∼T                      3, 6 MP

8. T                            7, DN

9. T ∨ M                     8, Add

Construct a proof for the argument below:

1. R ⊃ (K ● S)

2. R ∨ R

3. (S ● K) ⊃ ∼∼T             /T ∨ M

1. (∼A ⊃ B) ● (∼C ⊃ D)

2. ∼(A ● C)                        /B ∨ D

3. ∼A ∨ ∼C                       2, DM

4. B ∨ D                            1, 3 CD

Construct a proof for the argument below:

1. (∼A ⊃ B) ● (∼C ⊃ D)

2. ∼(A ● C) /B ∨ D

1. ∼L /∼(L ● M)

2. ∼L ∨ ∼M 1, Add

3. ∼(L ● M) 2, DM

Construct a proof for the argument below:

1. ∼L /∼(L ● M)

1. ∼(∼R ∨ ∼S)

2. S ⊃ [A ● (C ● B)]           /B ● C

3. ∼∼R ● ∼∼S                   1, DM

4. R ● S                             3, DN/DN

5. S                                    4, Simp

6. A ● (C ● B)                    2, 5 MP

7. C ● B                             6, Simp

8. B ● C                             7, Com

Construct a proof for the argument below:

1. ∼(∼R ∨ ∼S)

2. S ⊃ [A ● (C ● B)]           /B ● C

1. M ∨ (S ● K)

2. A ● (B ● C)

3. K ⊃ ∼C                       /M

4. (A ● B) ● C                 2, Assoc

5. C                                4, Simp

6. ∼∼C                           5, DN            

7. ∼K                              3, 6 MT

8. ∼K ∨ ∼S                    7, Add

9. ∼S ∨ ∼K                    8, Com

10. ∼(S ● K)                     9, DM

11. M                                1, 10 DS

Alternative:

1. M ∨ (S ● K)

2. A ● (B ● C)

3. K ⊃ ∼C                       /M

4. (M ∨ S) ● (M ∨ K)              1, Dist

5. M ∨ K                             4, Simp

6. (A ● B) ● C                       2, Com

7. C                                  6, Simp

8. ∼∼C                             7, DN

9. ∼K                                3, 8 MT

10. M                                  5, 9 DS

Construct a proof for the argument below:

1. M ∨ (S ● K)

2. A ● (B ● C)

3. K ⊃ ∼C /M

1. P

2. S ∨ T

3. ∼P ∨ ∼T                     /P ● S

4. ∼∼P                             1, DN

5. ∼T                               3, 4 DS

6. S                                  2, 5 DS

7. P ● S                            1, 6 Conj

Construct a proof for the argument below:

1. P

2. S ∨ T

3. ∼P ∨ ∼T /P ● S

1. (J ● K) ∨ (J ● M)

2. J ⊃ (L ⊃ O)

3. O ⊃ ∼S                 /L ⊃ ∼S

4. J ● (K ∨ M)            1, Dist

5. J                             4, Simp

6. L ⊃ O                      2, 5 MP

7. L ⊃ ∼S                    3, 6 HS

Construct a proof for the argument below:

1. (J ● K) ∨ (J ● M)

2. J ⊃ (L ⊃ O)

3. O ⊃ ∼S /L ⊃ ∼S

1. F ⊃ (J ● K)

2. ∼K

3. F ∨ (G ≡ H)

4. M ⊃ ∼(G ≡ H)         /∼M

5. ∼K ∨ ∼J                 2, Add

6. ∼J ∨ ∼K                 5, Com

7. ∼(J ● K)                  6, DM

8. ∼F                           1, 7 MT

9. G ≡ H                       3, 8 DS

10. ∼∼(G ≡ H)                  9, DN

11. ∼M                             4, 10 MT

Construct a proof for the argument below:

1. F ⊃ (J ● K)

2. ∼K

3. F ∨ (G ≡ H)

4. M ⊃ ∼(G ≡ H) /∼M

1. ∼M ∨ O

2. (M ⊃ O) ⊃ (P ⊃ R)          /∼P ∨ R

3. M ⊃ O                             1, Impl

4. P ⊃ R                              2, 3 MP

5. ∼P ∨ R                            4, Impl

Construct a proof for the argument below:

1. ∼M ∨ O

2. (M ⊃ O) ⊃ (P ⊃ R)          /∼P ∨ R

1. H ⊃ (G ∨ G)

2. ∼(G ● G)                   /∼H

3. ∼G ∨ ∼G                  2, DM

4. ∼G                            3, Taut

5. H ⊃ G                       1, Taut

6. ∼H                            4, 5 MT

Construct a proof for the argument below:

1. H ⊃ (G ∨ G)

2. ∼(G ● G) /∼H

1. C ≡ D

2. ∼C

3. D ∨ G                            /G

4. (C ⊃ D) ● (D ⊃ C)           1, Equiv

5. D ⊃ C                              4, Simp

6. ∼D                                   2, 5 MT

7. G                                     3, 6 DS

Construct a proof for the argument below:

1. C ≡ D

2. ∼C

3. D ∨ G                     /G

1. ∼(J ● K)

2. J ≡ K

3. ∼K ⊃ (M ⊃ O) /∼O ⊃ ∼M

4. (J ● K) ∨ (∼J ●∼ K) 2, Equiv

5. ∼J ● ∼K                   1, 4 DS

6. ∼K                            5, Simp

7. M ⊃ O                       3, 6 MP

8. ∼O ⊃ ∼M                   7, Trans

Construct a proof for the argument below:

1. ∼(J ● K)

2. J ≡ K

3. ∼K ⊃ (M ⊃ O) /∼O ⊃ ∼M

1. ∼A ∨ M

2. A ∨ (A ∨ B)

3. ∼B /T ⊃ M

4. (A ∨ A) ∨ B 2, Assoc

5. A ∨ A 3, 4 DS

6. A 5, Taut

7. ∼∼A 6, DN

8. M 1, 7 DS

9. M ∨ ∼T 8, Add

10. ∼T v M 9, Com

11. T ⊃ M 10, Impl

Construct a proof for the argument below:

1. ∼A ∨ M

2. A ∨ (A ∨ B)

3. ∼B /T ⊃ M

Construct a proof for the argument below:

1. (T ● M) ⊃ ∼U

2. D ⊃ T

3. ∼(∼D ∨ ∼F) /∼M ∨ ∼U

Construct a proof for the argument below:

1. ∼D ∨ C

2. ∼F ∨ G

3. ∼(∼D ● ∼F)         /C ∨ G

Construct a proof for the argument below:

1. ∼A ⊃ ∼B

2. D ⊃ C

3. ∼A ∨ ∼C /∼B ∨ ∼D

Construct a proof for the argument below:

1. (K ● M) ∨ (K ● N)

2. K ≡ (L ⊃ O)

3. ∼O /K ● ∼L