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Qu’est-ce qu’une suite de nombres réels ?

Une application a : N → R

Quand une suite est-elle majorée ?

S’il existe M ∈ R tel que a_n ≤ M pour tout n ∈ N.

Quand une suite est-elle minorée ?

S’il existe m ∈ R tel que a_n ≥ m pour tout n ∈ N.

Quand une suite est-elle croissante ?

Si a{n+1} ≥ an pour tout n ∈ N.

Quand une suite est-elle décroissante ?

Si a{n+1} ≤ an pour tout n ∈ N.

Quand une suite converge vers l ?

Si pour tout ε > 0

La limite d’une suite convergente est-elle unique ?

Oui.

Toute suite convergente est-elle bornée ?

Oui.

Limite d’une combinaison linéaire de suites convergentes : lim (p an + q bn) ?

p lim an + q lim bn.

Limite d’un produit de suites convergentes : lim (an bn) ?

(lim an)(lim bn)

Limite d’un quotient de suites convergentes : lim (an / bn) ?

lim an / lim bn

Quand peut-on appliquer le théorème des deux gendarmes ?

Si an ≤ bn ≤ cn pour n assez grand et lim an = lim cn = l. Alors lim bn = l.

Limite de la valeur absolue d’une suite : lim |a_n| ?

|lim a_n|

Si lim |a_n| = 0

que peut-on dire de lim a_n ?

Critère de d’Alembert pour la suite (a_n) ?

Si |a{n+1}/an| → ρ

Toute suite croissante et majorée converge-t-elle ?

Oui

Toute suite décroissante et minorée converge-t-elle ?

Oui

Définition : une suite tend vers +∞ ?

Si pour tout A>0

Définition : une suite tend vers −∞ ?

Si pour tout A>0

Toute suite croissante non majorée tend vers ?

+∞

Toute suite décroissante non minorée tend vers ?

−∞

Suite définie par récurrence : a{n+1} = g(an) ?

Chaque terme dépend du précédent via g.

Si g(x) = qx + b

|q|<1

Si |q|>1 et a_0 ≠ b/(1-q) ?

La suite diverge.

Condition de convergence rapide ?

Si |x{n+1}-l| ≤ bn |xn-l| avec 0

Suite croissante et bornée par g:E → E ?

Converge

Qu’est-ce qu’une sous-suite ?

Une suite a{nk} avec n_k croissant strictement.

Limite d’une sous-suite si lim a_n = l ?

La sous-suite converge aussi vers l.

Existence d’une sous-suite convergente dans toute suite bornée ?

Oui (Bolzano-Weierstrass)

Définition d’une suite de Cauchy ?

Pour tout ε>0

Une suite est convergente si et seulement si ?

Elle est de Cauchy.

Limite d’un quotient de polynômes : xn = ap n^p + …

yn = bq n^q + … ?

Limite suite géométrique a_0 r^n ?

0 si |r|<1

lim √[n]{a} = ?

1 pour tout a>0

lim 1/n^p pour p>0 ?

0

Formules utiles ?

1 ≤ √(1+x) ≤ 1 + x/2 pour x≥0

sin x < x pour x>0

lim (1+1/n)^n = e

lim (1-1/n)^n = e^{-1}

lim n!/n^n = 0

lim n^{1/n} = 1