Lineare Algebra

Wenn A \* B = B \* A

Wann sind Matritzen vertauschbar?

Wenn das vertauschen von Zeilen und Spalten sie nicht verändert (A = A^T)

Wann ist eine Matrix symetrisch?

Wenn das vertauschen von Zeilen und Spalten ein Vorzeichenwechsel hervorführt

Wann ist eine Matrix antisymetrisch?

Alle Zahlen außer auf der Hauptdiagonale sind 0

Was ist eine Diagonalmatrix?

Wenn die letzte Gleichung unlösbar ist (z.B. 3 = 0)

Wann hat ein System keine Lösung?

Wenn eine Zeile nur Nullen hat

Wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?

Wenn sie quadratisch und regulär (Det =/= 0) ist

Wann hat eine Matrix eine Inverse?

Wenn ihre Determinante nicht 0 ist, sonst ist sie singulär

Wann ist eine Matrix regulär?

Wenn eine Dreiecksform hergestellt werden kann

Wann hat ein LGS genau eine Lösung?

Wenn ihr Skalarprodukt \= 0 ist

Woran merkt man ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind?

Betrag des Kreuzprodukts (Sqrt(Kreuz1, Kreuz2, Kreuz3))

Volumen eines Parallelograms?

Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts

Volumen eines Dreiecks?

Winkel zwischen zwei Vektoren?

Normierter Vektor

Kreuzprodukt = 0 = parallel

Spatprodukt = 0 = Schnittpunkt vorhanden Schnittpunkt? → Gleichsetzen dann einsetzen

Lage von Geraden zueinander

Abstand zwischen Punkt und Gerade (und zweier paralleler Geraden)

Abstand zweier windschiefer Geraden

Kreuzprodukt der Richtungsvektoren

Normalvektor

Gleichung der Ebene bestimmen

Lässt sich aus der Hesseschen Normalform ablesen: d\=1/x

Abstand Ebene zum Ursprung

Hesssche Normalform

\

Abstand von Punkt zu Ebene

Gibt die maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilen an

Was ist der Rang einer Matrix?

Wenn sie homogen und additiv ist

Wann ist eine Abbildung linear?

Diagonalmatrix minus lambda → determinante → nullstellen bestimmen

Eigenwerte bestimmen

Eigenwerte addieren oder Hauptdiagonale addieren

Spur einer Matrix

Det(a) = eigenwert1 \* eigenwert2 \* eigenwert3 …

Eigenwerte anhand der Determinante überprüfen

\

nicht-hesssche Normalenform

1. Normalenvektor ausrechnen und einsetzen in ax+bx+cx=k
2. Stützpunkt der geraden einsetzen um k zu bekommen

Ebene: Parameterform in Koordinatenform

Rang = Anzahl der nicht 0en Zeilen → Gauß

Rang einer Matrix bestimmen

Wenn A \* A^T = E oder wenn Det(A) = +-1

Wann ist eine Matrix orthogonal?

= n - Rang(A)

dim(kern(A))?

Normiertes Kreuzprodukt

Alle auf 2 Vektoren stehenden Einheitsvektoren

Kreuzprodukt der Normalenvektoren n x n

Richtungsvektor der Schnittgerade

1. Hesssche Normalform von E1 bilden
2. Punkt von E2 in Hesssche Normalform von E1 einsetzen

Abstand zweier paralleler Ebenen

Wenn die Determinante der daraus gebildeten Matrix =/= 0 ist,

Wann bildern Vektoren eine Basis zusammen?