Relationer och Funktioner

Ordförrådskort som täcker de grundläggande begreppen i matematikens kapitel 1 om relationer och funktioner, inklusive typer av relationer, funktionsegenskaper och sammansättningar.

Relation

En relation $R$ från mängden $A$ till mängden $B$ definieras matematiskt som en godtycklig delmängd av $A \times B$.

Tom relation (Empty relation)

En relation $R$ i en mängd $A$ kallas för en tom relation om inget element i $A$ är relaterat till något element i $A$, det vill säga $R = \text{φ} \text{ } \text{⊂} \text{ } A \times A$.

Universell relation (Universal relation)

En relation $R$ i en mängd $A$ är universell om varje element i $A$ är relaterat till varje element i $A$, det vill säga $R = A \times A$.

Triviala relationer (Trivial relations)

En samlingsterm som betraktar både den tomma relationen och den universella relationen.

Reflexiv relation

En relation $R$ i en mängd $A$ är reflexiv om $(a, a) \text{ } \text{∈} \text{ } R$ för varje $a \text{ } \text{∈} \text{ } A$.

Symmetrisk relation

En relation $R$ i en mängd $A$ är symmetrisk om $(a_1, a_2) \text{ } \text{∈} \text{ } R$ innebär att $(a_2, a_1) \text{ } \text{∈} \text{ } R$ för alla $a_1, a_2 \text{ } \text{∈} \text{ } A$.

Transitiv relation

En relation $R$ i en mängd $A$ är transitiv om $(a_1, a_2) \text{ } \text{∈} \text{ } R$ och $(a_2, a_3) \text{ } \text{∈} \text{ } R$ innebär att $(a_1, a_3) \text{ } \text{∈} \text{ } R$ för alla $a_1, a_2, a_3 \text{ } \text{∈} \text{ } A$.

Ekvivalensrelation

En relation $R$ i en mängd $A$ sägs vara en ekvivalensrelation om den är reflexiv, symmetrisk och transitiv.

Ekvivalensklass (Equivalence class)

Givet en ekvivalensrelation $R$ i en mängd $X$, är ekvivalensklassen $[a]$ en delmängd av $X$ som innehåller alla element $b$ som är relaterade till $a$.

Injektiv funktion (One-one)

En funktion $f : X \rightarrow Y$ är injektiv om bilderna av distinkta element i $X$ under $f$ är distinkta, det vill säga $f(x_1) = f(x_2)$ medför $x_1 = x_2$.

Surjektiv funktion (Onto)

En funktion $f : X \rightarrow Y$ är surjektiv om varje element i $Y$ är bilden av minst ett element i $X$ under $f$, det vill säga för varje $y \text{ } \text{∈} \text{ } Y$ finns ett $x \text{ } \text{∈} \text{ } X$ så att $f(x) = y$.

Biektiv funktion

En funktion $f : X \rightarrow Y$ är biektiv om den är både injektiv (one-one) och surjektiv (onto).

Sammansättning av funktioner (Composition of functions)

För funktionerna $f : A \rightarrow B$ och $g : B \rightarrow C$ är sammansättningen $g \text{ } \text{∘} \text{ } f$ en funktion från $A$ till $C$ definierad som $g \text{ } \text{∘} \text{ } f(x) = g(f(x))$ för alla $x \text{ } \text{∈} \text{ } A$.

Inverterbar funktion (Invertible function)

En funktion $f : X \rightarrow Y$ är inverterbar om det finns en funktion $g : Y \rightarrow X$ sådan att $g \text{ } \text{∘} \text{ } f = I_X$ och $f \text{ } \text{∘} \text{ } g = I_Y$. En sådan funktion $f$ måste vara biektiv.