chap 2 integrale gene

Quel est le cadre du chapitre sur les intégrales généralisées ?

Dans tout le chapitre, a est un réel et f, g, h sont des fonctions continues de [a,+∞[ dans ℝ.

Définition 1 — Quand l’intégrale généralisée ∫_a^{+∞}f(t)dt converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si la fonction x↦∫_a^x f(t)dt admet une limite réelle lorsque x→+∞. Dans le cas contraire, l’intégrale généralisée diverge.

Définition 1 — Quelle est la valeur de ∫_a^{+∞}f(t)dt lorsqu’elle converge ?

Si elle converge, sa valeur est lim_{x→+∞}∫_a^x f(t)dt.

Qu’appelle-t-on la nature d’une intégrale généralisée ?

Son caractère convergent ou divergent.

Une intégrale généralisée divergente a-t-elle une valeur ?

Non. Une intégrale généralisée n’a de valeur que si elle est convergente.

Exemple 2 — Pour quelles valeurs de k l’intégrale ∫_0^{+∞}e^(−kt)dt converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si k>0.

Exemple 2 — Quelle est la valeur de ∫_0^{+∞}e^(−kt)dt lorsque k>0 ?

1/k.

Proposition 3 — Quelles sont les hypothèses de la relation de Chasles ?

On suppose f continue sur [a,+∞[ et on prend b>a.

Proposition 3 — Quelle équivalence de convergence donne la relation de Chasles ?

∫_a^{+∞}f(t)dt converge si et seulement si ∫_b^{+∞}f(t)dt converge.

Proposition 3 — Quelle égalité donne la relation de Chasles lorsque les intégrales convergent ?

∫_a^{+∞}f(t)dt=∫_a^b f(t)dt+∫_b^{+∞}f(t)dt.

Corollaire 4 — Que devient la queue d’une intégrale généralisée convergente ?

Si ∫a^{+∞}f(t)dt converge, alors lim{x→+∞}∫_x^{+∞}f(t)dt=0.

À quoi ∫_x^{+∞}f(t)dt est-elle analogue pour les séries ?

Au reste de Cauchy.

Que se passe-t-il si f admet une limite non nulle en +∞ ?

Alors l’intégrale généralisée ∫_a^{+∞}f(t)dt diverge.

Proposition 6 — Quelles sont les hypothèses de linéarité ?

Soient λ,μ∈ℝ. On suppose que ∫_a^{+∞}f(t)dt et ∫_a^{+∞}g(t)dt convergent.

Proposition 6 — Quelle est la propriété de linéarité ?

∫_a^{+∞}(λf(t)+μg(t))dt converge et vaut λ∫_a^{+∞}f(t)dt+μ∫_a^{+∞}g(t)dt.

Attention 1 — La convergence d’une combinaison linéaire implique-t-elle celle des deux intégrales séparées ?

Non. ∫_a^{+∞}(λf+μg) peut converger sans que ∫_a^{+∞}f et ∫_a^{+∞}g convergent.

Proposition 8 — Quelles sont les hypothèses de croissance de l’intégrale ?

On suppose que ∀x∈[b,+∞[, g(x)≤f(x), et que les intégrales généralisées ∫_a^{+∞}f(t)dt et ∫_a^{+∞}g(t)dt convergent.

Proposition 8 — Quelle est la conclusion de la propriété de croissance ?

∫_a^{+∞}g(t)dt≤∫_a^{+∞}f(t)dt.

Attention 2 — Pourquoi l’hypothèse de convergence des deux intégrales est-elle importante dans la propriété de croissance ?

Le passage à la limite utilisé dans la démonstration ne peut pas être effectué en général sans cette hypothèse.

Théorème 9 — Quelles sont les hypothèses du théorème fondamental pour les intégrales de fonctions positives ?

On suppose f continue et positive sur [a,+∞[ et on pose F(x)=∫_a^x f(t)dt.

Théorème 9 — Quel est le critère fondamental de convergence pour une fonction positive ?

∫_a^{+∞}f(t)dt converge si et seulement si F est majorée.

Théorème 9 — Quelle est la valeur de l’intégrale lorsque f est positive et que l’intégrale converge ?

∫a^{+∞}f(t)dt=sup{x∈[a,+∞[}F(x).

Corollaire 10 — Quelle hypothèse permet de comparer deux fonctions positives ?

Il existe b≥a tel que ∀x∈[b,+∞[, 0≤g(x)≤f(x).

Corollaire 10 — Que peut-on conclure si 0≤g≤f et si ∫f converge ?

Alors ∫_a^{+∞}g(t)dt converge et ∫_a^{+∞}g(t)dt≤∫_a^{+∞}f(t)dt.

Quelle hypothèse de la proposition de croissance peut être affaiblie pour des fonctions positives ?

Il n’est plus nécessaire de supposer la convergence des deux intégrales : la convergence de l’intégrale de la fonction majorante suffit.

Quelle est la contraposée du critère de comparaison pour des fonctions positives ?

Si 0≤g≤f à partir d’un certain point et si ∫g diverge, alors ∫f diverge.

Théorème 12 — Quand l’intégrale de Riemann ∫_1^{+∞}dt/t^α converge-t-elle ?

Elle converge si et seulement si α>1.

Définition 14 — Quand une intégrale généralisée est-elle absolument convergente ?

∫_a^{+∞}f(t)dt est absolument convergente si et seulement si ∫_a^{+∞}|f(t)|dt converge.

Théorème 15 — Que peut-on déduire de la convergence absolue d’une intégrale généralisée ?

Si ∫_a^{+∞}f(t)dt est absolument convergente, alors ∫_a^{+∞}f(t)dt converge.

Théorème 15 — Quelle est l’inégalité triangulaire sur les intégrales généralisées ?

|∫_a^{+∞}f(t)dt|≤∫_a^{+∞}|f(t)|dt.

Théorème 16.1 — Quel est le critère de comparaison par inégalité ?

Si 0≤f(t)≤g(t) à partir d’un certain point et si ∫_a^{+∞}g(t)dt converge, alors ∫_a^{+∞}f(t)dt converge.

Théorème 16.2 — Quel est le critère de comparaison avec un grand O ?

Si f(t)=O_{t→+∞}(g(t)) et si ∫_a^{+∞}g(t)dt est absolument convergente, alors ∫_a^{+∞}f(t)dt est absolument convergente.

Théorème 16.3 — Quel est le critère de comparaison avec un petit o ?

Si f(t)=o_{t→+∞}(g(t)) et si ∫_a^{+∞}g(t)dt est absolument convergente, alors ∫_a^{+∞}f(t)dt est absolument convergente.

Corollaire 17 — Quel est le critère d’équivalence pour les intégrales généralisées de fonctions positives ?

Si f et g sont positives et f(t)∼_{t→+∞}g(t), alors ∫_a^{+∞}f(t)dt et ∫_a^{+∞}g(t)dt sont de même nature.

Comparaison série-intégrale — Quelles sont les hypothèses données dans l’exercice 19 ?

f est continue, positive et décroissante sur [0,+∞[ et sa limite en +∞ est nulle.

Comparaison série-intégrale — Quelle équivalence donne l’exercice 19 ?

La série Σf(n) converge si et seulement si l’intégrale généralisée ∫_0^{+∞}f(t)dt converge.

Proposition 20 — Quelles sont les hypothèses de l’intégration par parties généralisée ?

u et v sont deux fonctions de classe C¹ sur [a,+∞[ et la fonction uv admet une limite finie en +∞.

Proposition 20 — Que peut-on dire de la nature des deux intégrales apparaissant dans l’IPP ?

Les intégrales ∫_a^{+∞}u(t)v'(t)dt et ∫_a^{+∞}u'(t)v(t)dt sont de même nature.

Proposition 20 — Quelle est la formule d’intégration par parties généralisée ?

∫a^{+∞}u(t)v'(t)dt=lim{t→+∞}u(t)v(t)−u(a)v(a)−∫_a^{+∞}u'(t)v(t)dt.

Notation 21 — Comment note-t-on le terme de bord dans une IPP généralisée ?

lim_{t→+∞}u(t)v(t)−u(a)v(a) se note [u(t)v(t)]_a^{+∞}.

Peut-on utiliser l’IPP généralisée sans savoir au départ si l’intégrale proposée converge ?

Oui. Si « le crochet existe » et si l’intégrale à droite de l’égalité converge, alors l’intégrale à gauche converge aussi.

À quoi peut servir une IPP dans l’étude de la convergence d’une intégrale généralisée ?

Elle peut transformer l’intégrale afin de permettre une comparaison avec une intégrale de Riemann.

Théorème 23 — Quelle est l’hypothèse sur f dans le changement de variable ?

f est une fonction continue de [b,+∞[ dans ℝ.

Théorème 23 — Quelles sont les hypothèses sur φ dans le changement de variable ?

φ est une bijection strictement monotone de [a,+∞[ dans ]b,+∞[, de classe C¹.

Théorème 23 — Que dit le théorème de changement de variable sur la nature des intégrales ?

Les intégrales généralisées ∫_a^{+∞}f(φ(t))φ'(t)dt et ∫_b^{+∞}f(u)du sont de même nature.

Théorème 23 — Que dit le changement de variable sur leurs valeurs lorsqu’elles convergent ?

∫_a^{+∞}f(φ(t))φ'(t)dt=∫_b^{+∞}f(u)du.

Si φ est une bijection strictement croissante de [a,+∞[ dans ]b,+∞[, quelles sont ses limites aux bornes ?

b=lim_{t→a}φ(t) et lim_{t→+∞}φ(t)=+∞.

Quelle hypothèse du changement de variable n’était pas présente dans le cours sur les intégrales sur des segments ?

L’hypothèse de stricte monotonie du changement de variable.

Qu’appelle-t-on intégrale de Gauss dans le cours ?

L’intégrale ∫_0^{+∞}e^(−u²)du.

Quelle est la valeur de l’intégrale de Gauss indiquée dans le cours ?

∫_0^{+∞}e^(−u²)du=√π/2. Cette valeur est hors programme mais souvent donnée dans les énoncés.

Quelles sont les hypothèses du théorème de l’intégrale nulle ?

f est continue et positive sur [a,+∞[.

Que dit le théorème de l’intégrale nulle ?

Si l’intégrale généralisée ∫_a^{+∞}f(t)dt converge et vaut 0, alors f est identiquement nulle sur [a,+∞[.